- Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
- As derivadas parciais aparecem, por exemplo, nas chamadas Equações Diferenciais Parciais (EDPs), as quais exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a EDP
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Para a função
, determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem. - Reconhecer a Equação Diferencial Parcial
e dizer que tipo de EDP é essa e onde surge fisicamente.
Passo 2
Para chegar às derivadas parciais de segunda ordem, primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora derivamos
para obter
e
.
Derivada de
em relação a
:
Derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora derivamos
para obter
e
.
Derivada de
em relação a
:
Derivada de
em relação a
:
Passo 5
Conferimos que
, como previsto pela igualdade de derivadas mistas de segunda ordem para funções suficientemente suaves. Assim, as derivadas parciais de segunda ordem são:
Passo 6
A EDP
é a equação da onda unidimensional. É uma EDP linear de segunda ordem, do tipo hiperbólico, que modela, por exemplo, as vibrações de uma corda ou demais ondas mecânicas em um meio ideal.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem de
são:
A EDP
é a equação da onda unidimensional (PDE hiperbólica) que descreve, por exemplo, vibrações de uma corda.