1. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y)=x^3 y^5+2 x^4 y.
  2. As derivadas parciais aparecem, por exemplo, nas chamadas Equações Diferenciais Parciais (EDPs), as quais exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a EDP
partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Para a função f(x,y)=x^3y^5+2x^4y, determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem.
  2. Reconhecer a Equação Diferencial Parcial
partial^2upartial t^2=a^2partial^2upartial x^2
e dizer que tipo de EDP é essa e onde surge fisicamente.

Passo 2

Para chegar às derivadas parciais de segunda ordem, primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em relação a x:
fx = partialpartial xl(x^3y^5+2x^4yr) =3x^2y^5+8x^3y
Derivando em relação a y:
fy = partialpartial yl(x^3y^5+2x^4yr) =5x^3y^4+2x^4

Passo 3

Agora derivamos fx para obter fxx e fxy.
Derivada de fx em relação a x:
fxx = partialpartial xl(3x^2y^5+8x^3yr) =6x,y^5+24x^2y
Derivada de fx em relação a y:
fxy = partialpartial yl(3x^2y^5+8x^3yr) =15x^2y^4+8x^3

Passo 4

Agora derivamos fy para obter fyx e fyy.
Derivada de fy em relação a x:
fyx = partialpartial xl(5x^3y^4+2x^4r) =15x^2y^4+8x^3
Derivada de fy em relação a y:
fyy = partialpartial yl(5x^3y^4+2x^4r) =20x^3y^3

Passo 5

Conferimos que fxy=fyx, como previsto pela igualdade de derivadas mistas de segunda ordem para funções suficientemente suaves. Assim, as derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx=6x,y^5+24x^2y,
fxy=fyx=15x^2y^4+8x^3,
fyy=20x^3y^3

Passo 6

A EDP
partial^2upartial t^2=a^2partial^2upartial x^2
é a equação da onda unidimensional. É uma EDP linear de segunda ordem, do tipo hiperbólico, que modela, por exemplo, as vibrações de uma corda ou demais ondas mecânicas em um meio ideal.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=x^3y^5+2x^4y são:
fxx=6x,y^5+24x^2y,
fxy=fyx=15x^2y^4+8x^3,
fyy=20x^3y^3
A EDP
partial^2upartial t^2=a^2partial^2upartial x^2
é a equação da onda unidimensional (PDE hiperbólica) que descreve, por exemplo, vibrações de uma corda.

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