12- Considerando a seguinte auto função \Psi(x, t)=A \cdot \cos \left(\frac{\pi x}{a}\right) \cdot \exp \left[-1\left(\frac{8}{h}\right) t\right] correspondente ao estado fundamental de uma partícula livre (V(x)=0) movendose restritamente no eixo x, dentro de uma região de comprimento a: (a) determine a constante de normalização A; (b) calcule a probabilidade de encontrá-la dentro de uma região medindo a / 3.

Passo 1

O enunciado dá a autofunção
\Psi(x,t)=A\cdot\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cdot\exp\!\left[-\,\mathrm{i}\left(\frac{8}{\hbar}\right)t\right]
correspondente ao estado fundamental de uma partícula restringida a uma região de comprimento a ao longo do eixo x. O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a constante de normalização A;
  • (b) calcular a probabilidade de encontrar a partícula dentro de uma região de comprimento a/3.
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado):
  • A função espacial é \psi(x)=A\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) (o fator temporal é \exp(-\mathrm{i}Et/\hbar), que é uma fase complexa).
  • A partícula está restrita a uma região de comprimento a. Como a função espacial é um cosseno com argumento \dfrac{\pi x}{a}, a escolha natural (compatível com o estado fundamental de uma caixa centrada) é que a região é o intervalo \left[-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right] e a função vale zero fora dele. Adotarei essa hipótese para poder normalizar e calcular probabilidades sem ambiguidade.
  • Observação importante: o fator temporal é uma fase \exp(-\mathrm{i}Et/\hbar), portanto |\Psi(x,t)|^{2}=|\psi(x)|^{2} é independente do tempo — a probabilidade espacial não depende de t.

Passo 2

Princípio de normalização (aula curtinha e prática):
  • Uma função de onda \Psi(x,t) representa uma densidade de probabilidade espacial, então deve satisfazer a condição
\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx=1.
  • Como a partícula está confinada em \left[-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right] e \Psi=0 fora, a integral reduz-se a essa janela. Também, como o fator temporal é apenas uma fase complexa, |\Psi|^{2}=|\psi(x)|^{2}=|A|^{2}\cos^{2}\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right).
  • Vamos então impor a normalização espacial:
\int_{-a/2}^{a/2} |A|^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = 1.
Cálculo explícito da integral (mostrando cada passo de cálculo):
  • Use a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
  • Substituindo \theta=\dfrac{\pi x}{a},
\int_{-a/2}^{a/2}\cos^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)dx =\int_{-a/2}^{a/2}\frac{1+\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)}{2}\,dx.
  • Calcule a integral termo a termo:
\int_{-a/2}^{a/2}\frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}\left[x\right]_{-a/2}^{a/2}=\frac{1}{2}\cdot a=\frac{a}{2}.
\int_{-a/2}^{a/2}\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)dx =\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{a}{2\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\right]_{-a/2}^{a/2}.
Mas \sin\!\left(\frac{2\pi}{a}\cdot\frac{a}{2}\right)=\sin(\pi)=0 e \sin(-\pi)=0, logo esse segundo termo é zero. Portanto
\int_{-a/2}^{a/2}\cos^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)dx=\frac{a}{2}.
  • Voltando à normalização:
|A|^{2}\cdot\frac{a}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad |A|^{2}=\frac{2}{a}.
  • A constante A pode ter uma fase global; usualmente escolhe-se A real e positiva:
A=\sqrt{\frac{2}{a}}.

Passo 3

Preparar o cálculo da probabilidade na região de extensão a/3:
  • O enunciado pede a probabilidade de encontrar a partícula numa região de comprimento a/3. Como não foi especificada a posição dessa sub-região, adotarei a interpretação mais natural para este estado simétrico: escolher a região central de comprimento a/3, isto é o intervalo
\left[-\frac{a}{6},\frac{a}{6}\right],
centrado no centro do poço. Essa escolha faz sentido porque a função \cos é simétrica e o enunciado provavelmente quer a probabilidade na região central.
  • A probabilidade pedida é
P=\int_{-a/6}^{a/6}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx =\int_{-a/6}^{a/6}|A|^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx.
Usaremos A=\sqrt{\dfrac{2}{a}} encontrado antes.

Passo 4

Cálculo explícito da probabilidade (passo a passo):
  • Substituindo |A|^{2}=2/a,
P=\frac{2}{a}\int_{-a/6}^{a/6}\cos^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx.
  • Novamente use \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}:
P=\frac{2}{a}\int_{-a/6}^{a/6}\frac{1+\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)}{2}\,dx =\frac{1}{a}\int_{-a/6}^{a/6}\left(1+\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\right)dx.
  • Integre termo a termo:
\int_{-a/6}^{a/6}1\,dx=\frac{a}{3}.
\int_{-a/6}^{a/6}\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)dx =\left[\frac{a}{2\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\right]_{-a/6}^{a/6} =\frac{a}{2\pi}\Big(\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)-\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)\Big).
  • Use \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(-\theta)=-\sin\theta. Assim a diferença é \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{3}. Portanto
\int_{-a/6}^{a/6}\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)dx=\frac{a}{2\pi}\sqrt{3}.
  • Substituindo de volta em P:
P=\frac{1}{a}\left(\frac{a}{3}+\frac{a}{2\pi}\sqrt{3}\right) =\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2\pi}.
  • Valor numérico aproximado (usar vírgula decimal):
P\approx 0,609.

Resposta

A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}
P=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2\pi}\approx 0,609

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