12- Considerando a seguinte auto função
correspondente ao estado fundamental de uma partícula livre
movendose restritamente no eixo
, dentro de uma região de comprimento a: (a) determine a constante de normalização
; (b) calcule a probabilidade de encontrá-la dentro de uma região medindo
.
Passo 1
O enunciado dá a autofunção
correspondente ao estado fundamental de uma partícula restringida a uma região de comprimento
ao longo do eixo
. O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar a constante de normalização
; - (b) calcular a probabilidade de encontrar a partícula dentro de uma região de comprimento
.
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado):
- A função espacial é
(o fator temporal é , que é uma fase complexa). - A partícula está restrita a uma região de comprimento
. Como a função espacial é um cosseno com argumento , a escolha natural (compatível com o estado fundamental de uma caixa centrada) é que a região é o intervalo e a função vale zero fora dele. Adotarei essa hipótese para poder normalizar e calcular probabilidades sem ambiguidade. - Observação importante: o fator temporal é uma fase
, portanto é independente do tempo — a probabilidade espacial não depende de .
Passo 2
Princípio de normalização (aula curtinha e prática):
- Uma função de onda
representa uma densidade de probabilidade espacial, então deve satisfazer a condição
- Como a partícula está confinada em
e fora, a integral reduz-se a essa janela. Também, como o fator temporal é apenas uma fase complexa, . - Vamos então impor a normalização espacial:
Cálculo explícito da integral (mostrando cada passo de cálculo):
- Use a identidade trigonométrica
- Substituindo
,
- Calcule a integral termo a termo:
Mas
e
, logo esse segundo termo é zero. Portanto
- Voltando à normalização:
- A constante
pode ter uma fase global; usualmente escolhe-se real e positiva:
Passo 3
Preparar o cálculo da probabilidade na região de extensão
:
- O enunciado pede a probabilidade de encontrar a partícula numa região de comprimento
. Como não foi especificada a posição dessa sub-região, adotarei a interpretação mais natural para este estado simétrico: escolher a região central de comprimento , isto é o intervalo
centrado no centro do poço. Essa escolha faz sentido porque a função
é simétrica e o enunciado provavelmente quer a probabilidade na região central.
- A probabilidade pedida é
Usaremos
encontrado antes.
Passo 4
Cálculo explícito da probabilidade (passo a passo):
- Substituindo
,
- Novamente use
:
- Integre termo a termo:
- Use
e . Assim a diferença é . Portanto
- Substituindo de volta em
:
- Valor numérico aproximado (usar vírgula decimal):