12- Considerando a seguinte auto função \Psi(x, t)=A \cdot \cos \left(\frac{\pi x}{a}\right) \cdot \exp \left[-i\left(\frac{\mathrm{E}}{\hbar}\right) t\right] orrespondente ao estado fundamental de uma partícula livre (V(x)=0) movendo restritamente no eixo x, dentro de uma região de comprimento a : (a) determin onstante de normalização A; (b) calcule a probabilidade de encontrá-la dent ma região medindo a/3.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação dada:
    • A autofunção é \Psi(x,t)=A\cdot\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\cdot\exp\!\left[-i\left(\dfrac{E}{\hbar}\right)t\right].
    • A partícula está restrita a uma região de comprimento a. (Isto sugere a poça infinita centrada em x=0, com domínio -\dfrac{a}{2}\le x\le \dfrac{a}{2}, porque \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) tem zeros nas extremidades x=\pm \dfrac{a}{2}.)
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determinar a constante de normalização A.
    (b) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula dentro de uma região de comprimento a/3. (Vou interpretar a região pedida como o subintervalo central, isto é, o intervalo centrado em x=0 de comprimento a/3, ou seja -\dfrac{a}{6}\le x\le \dfrac{a}{6}. Essa é a interpretação padrão quando se pede “a região medindo a/3” num poço simétrico.)

Passo 2

Entendendo a densidade de probabilidade e por que o fator temporal some.
  • A densidade de probabilidade é |\Psi(x,t)|^2=\Psi^*(x,t)\Psi(x,t).
  • Aqui \Psi(x,t)=A\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)e^{-i(E/\hbar)t}. O fator de fase temporal e^{-i(E/\hbar)t} tem módulo 1, então
|\Psi(x,t)|^2=|A|^2\cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right).
  • Isso mostra que a distribuição espacial de probabilidade não depende do tempo (estado estacionário). Na prática, podemos trabalhar com |\Psi(x,t)|^2=|A|^2\cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) para integrar e normalizar.

Passo 3

Condição de normalização e montagem da integral.
  • A normalização exige que a probabilidade total em todo o domínio seja 1:
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} |\Psi(x,t)|^2\,dx = 1.
  • Substituindo |\Psi|^2 obtemos
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} |A|^2\cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\,dx = 1.
  • Podemos tirar |A|^2 fora da integral porque é constante:
|A|^2 \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\,dx = 1.

Passo 4

Cálculo da integral para encontrar |A|^2.
  • Usamos a identidade trigonométrica
\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}.
  • Então
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} 1\,dx + \frac{1}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\,dx.
  • A primeira integral é simples:
\frac{1}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} 1\,dx = \frac{1}{2}\cdot a = \frac{a}{2}.
  • A segunda integral é de uma função ímpar-coseno com limites simétricos? Na verdade \cos é par, mas observe que
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\,dx = \left.\frac{a}{2\pi}\sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\right|_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} = \frac{a}{2\pi}\big(\sin(\pi)-\sin(-\pi)\big)=0,
porque \sin(\pm\pi)=0.
  • Portanto a integral total vale \dfrac{a}{2}. Voltando à equação de normalização:
|A|^2\cdot \frac{a}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad |A|^2=\frac{2}{a}.
  • Podemos escolher A real e positivo (fase global não importa):
A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}.

Passo 5

Agora montar a integral para a probabilidade pedida (região central de comprimento a/3).
  • A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo -\dfrac{a}{6}\le x\le \dfrac{a}{6} é
P=\int_{-\frac{a}{6}}^{\frac{a}{6}} |\Psi(x,t)|^2\,dx = |A|^2\int_{-\frac{a}{6}}^{\frac{a}{6}} \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\,dx.
  • Substituímos |A|^2=\dfrac{2}{a}:
P=\frac{2}{a}\int_{-\frac{a}{6}}^{\frac{a}{6}} \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\,dx.

Passo 6

Cálculo da integral da probabilidade usando identidade trigonométrica.
  • Aplicando novamente \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}:
P=\frac{2}{a}\cdot\frac{1}{2}\int_{-\frac{a}{6}}^{\frac{a}{6}} \big(1+\cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\big)\,dx = \frac{1}{a}\int_{-\frac{a}{6}}^{\frac{a}{6}} 1\,dx + \frac{1}{a}\int_{-\frac{a}{6}}^{\frac{a}{6}} \cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\,dx.
  • A primeira integral vale \dfrac{a}{3} porque o comprimento do intervalo é a/3.
  • A segunda integral é
\int_{-\frac{a}{6}}^{\frac{a}{6}} \cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\,dx = \left.\frac{a}{2\pi}\sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\right|_{-\frac{a}{6}}^{\frac{a}{6}} = \frac{a}{2\pi}\big(\sin(\tfrac{\pi}{3})-\sin(-\tfrac{\pi}{3})\big).
  • Como \sin(\tfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(-\tfrac{\pi}{3})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, a diferença é \sqrt{3}. Então a segunda integral vale \dfrac{a}{2\pi}\sqrt{3}.
  • Substituindo em P,
P=\frac{1}{a}\left(\frac{a}{3}+\frac{a}{2\pi}\sqrt{3}\right) = \frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2\pi}.

Passo 7

Interpretação e valor numérico aproximado.
  • A expressão exata da probabilidade é
P=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2\pi}.
  • Num valor aproximado, usando \sqrt{3}\approx 1,732 e \pi\approx 3,142:
P\approx 0,3333 + 0,2757 \approx 0,6090.
  • Ou seja, há cerca de 60{,}9\% de chance de encontrar a partícula no terço central do poço.

Resposta

A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}
P=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2\pi}\approx 0,609

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