12- Considerando a seguinte auto função \Psi(x, t)=A \cdot \cos \left(\frac{\pi x}{a}\right) \cdot \exp \left[-i\left(\frac{\mathrm{E}}{\hbar}\right) t\right] orrespondente ao estado fundamental de uma partícula livre (V(x)=0) movendo restritamente no eixo x, dentro de uma região de comprimento a : (a) determin onstante de normalização A; (b) calcule a probabilidade de encontrá-la dent ma região medindo a/3.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informação dada:
A autofunção é \Psi(x,t)=A\cdot\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\cdot\exp\!\left[-i\left(\dfrac{E}{\hbar}\right)t\right].
A partícula está restrita a uma região de comprimento a. (Isto sugere a poça infinita centrada em x=0, com domínio -\dfrac{a}{2}\le x\le \dfrac{a}{2}, porque \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) tem zeros nas extremidades x=\pm \dfrac{a}{2}.)
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a constante de normalização A.
(b) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula dentro de uma região de comprimento a/3. (Vou interpretar a região pedida como o subintervalo central, isto é, o intervalo centrado em x=0 de comprimento a/3, ou seja -\dfrac{a}{6}\le x\le \dfrac{a}{6}. Essa é a interpretação padrão quando se pede “a região medindo a/3” num poço simétrico.)
Passo 2
Entendendo a densidade de probabilidade e por que o fator temporal some.
A densidade de probabilidade é |\Psi(x,t)|^2=\Psi^*(x,t)\Psi(x,t).
Aqui \Psi(x,t)=A\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)e^{-i(E/\hbar)t}. O fator de fase temporal e^{-i(E/\hbar)t} tem módulo 1, então
Isso mostra que a distribuição espacial de probabilidade não depende do tempo (estado estacionário). Na prática, podemos trabalhar com |\Psi(x,t)|^2=|A|^2\cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) para integrar e normalizar.
Passo 3
Condição de normalização e montagem da integral.
A normalização exige que a probabilidade total em todo o domínio seja 1:
Como \sin(\tfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(-\tfrac{\pi}{3})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, a diferença é \sqrt{3}. Então a segunda integral vale \dfrac{a}{2\pi}\sqrt{3}.