12.5 4. Considere a edo
.
a) Obtenha a soluçäo geral da edo homogénea correspondente.
b) Use o Metodo dos Coeficientes Indeterminados para obter uma soluçāo particular da edo naio-homogénea dada.
c) Obtenha a solução geral da edo não-homogênea dada.
a) Obtenha a soluçäo geral da edo homogénea correspondente.
b) Use o Metodo dos Coeficientes Indeterminados para obter uma soluçāo particular da edo naio-homogénea dada.
c) Obtenha a solução geral da edo não-homogênea dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é resolver a equação homogênea associada usando o polinômio característico e depois achar uma solução particular pelo Método dos Coeficientes Indeterminados. Finalmente somamos as duas para obter a solução geral da não-homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
O polinômio característico é
Resolvendo em
:
logo
e
. Portanto a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a solução particular
usamos o método dos coeficientes indeterminados. O lado direito é
. Como
não é raiz do característico, propomos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Agrupando termos em
e constantes, temos
Igualando coeficientes:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma de
com
: