12.5 4. Considere a edo y^prime prime-5 y^prime+6 y=x e^5 x.
a) Obtenha a soluçäo geral da edo homogénea correspondente.
b) Use o Metodo dos Coeficientes Indeterminados para obter uma soluçāo particular da edo naio-homogénea dada.
c) Obtenha a solução geral da edo não-homogênea dada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = x e^5x
O conteúdo aqui é resolver a equação homogênea associada usando o polinômio característico e depois achar uma solução particular pelo Método dos Coeficientes Indeterminados. Finalmente somamos as duas para obter a solução geral da não-homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 5y' + 6y = 0
O polinômio característico é
r^2 - 5r + 6 = 0
Resolvendo em r:
r = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12,
logo r1 = 3 e r2 = 2. Portanto a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^3x

Passo 3

Para a solução particular yp usamos o método dos coeficientes indeterminados. O lado direito é x e^5x. Como r=5 não é raiz do característico, propomos
yp(x) = (A x + B),e^5x,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp'=(5A x + (A+5B)),e^5x,
yp''=l(25A x + (10A+25B)r),e^5x
Substituindo em y'' -5y' +6y:
yp'' -5yp' +6yp =l[25A x + (10A+25B)r]e^5x -5l[5A x + (A+5B)r]e^5x +6l[A x + Br]e^5x
Agrupando termos em x e constantes, temos
l[6A,x + (5A+6B)r]e^5x = x e^5x
Igualando coeficientes:
6A = 1Rightarrow A=tfrac16,
5A + 6B = 0Rightarrow 5cdottfrac16 +6B=0 ;Rightarrow;B=-tfrac536
Logo
yp(x)=l(tfrac16x - tfrac536r)e^5x

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma de yh com yp:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x + l(tfrac16x - tfrac536r)e^5x

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x + l(tfrac16x - tfrac536r)e^5x

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