Calcule os diferenciais totais das funções abaixo:
y=3 x2 x1 ^32 x1-x2

Passo 1

O enunciado pede o diferencial total de
y = 3,x2,x1^32,x1 - x2
O conteúdo aqui é o diferencial total de uma função de duas variáveis x1 e x2. Vamos usar a definição
dy = partial ypartial x1,dx1 ;+;partial ypartial x2,dx2,
isto é, precisamos calcular partial y/partial x1 e partial y/partial x2 usando a regra do quociente.

Passo 2

Calcular partial ypartial x1
Defina
N = 3,x2,x1^3, D = 2,x1 - x2
Pela regra do quociente,
partial ypartial x1 = N'x1,D - N,D'x1D^2
Temos
N'x1 = 3,x2cdot 3,x1^2 = 9,x2,x1^2, D'x1 = 2
Logo,
partial ypartial x1 = 9,x2,x1^2(2,x1 - x2) - 3,x2,x1^3cdot 2(2,x1 - x2)^2 = 3,x2,x1^2l(4,x1 -3,x2r)(2,x1 - x2)^2

Passo 3

Calcular partial ypartial x2
Usando a mesma notação,
partial ypartial x2 = N'x2,D - N,D'x2D^2
Aqui
N'x2 = 3,x1^3, D'x2 = -1
Então
partial ypartial x2 = 3,x1^3(2,x1 - x2) - 3,x2,x1^3,(-1)(2,x1 - x2)^2 = 6,x1^4(2,x1 - x2)^2

Passo 4

Montar o diferencial total
Substituindo em
dy = partial ypartial x1,dx1 + partial ypartial x2,dx2,
obtemos
dy = 3,x2,x1^2l(4,x1-3,x2r)(2,x1-x2)^2,dx1 + 6,x1^4(2,x1-x2)^2,dx2

Resposta

dy = 3,x2,x1^2l(4,x1-3,x2r)(2,x1-x2)^2,dx1 + 6,x1^4(2,x1-x2)^2,dx2

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