Calcule os diferenciais totais das funções abaixo:
y=3 x e^3 xx^2-2

Passo 1

O enunciado pede o diferencial total de uma função de uma variável. O diferencial total de y=y(x) é dado por
dy = y'(x),dx,
ou seja, precisamos calcular a derivada y'(x) e depois multiplicar por dx.

Passo 2

Escrevemos
y(x)=3x,e^3xx^2-2
como quociente de
u(x)=3x,e^3x e v(x)=x^2-2,
pois aí podemos usar a regra do quociente. Vamos achar u' e v'.
Derivando o produto em u:
u'(x) =ddxl(3x,e^3xr) =3,e^3x+3xcdot3e^3x =3e^3x(1+3x)
Derivando v:
v'(x)=ddx(x^2-2)=2x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
y'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =3e^3x(1+3x)(x^2-2)-3x,e^3xcdot2x(x^2-2)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador. Primeiro expandimos
(1+3x)(x^2-2)=x^2-2+3x^3-6x=3x^3+x^2-6x-2,
e daí
3e^3xl(3x^3+x^2-6x-2r) -3e^3xcdot2x^2 =3e^3x(3x^3- x^2-6x-2)
Logo
y'(x) =3e^3x(3x^3- x^2-6x-2)(x^2-2)^2

Passo 5

Finalmente, o diferencial total é
dy = y'(x),dx =3e^3x(3x^3- x^2-6x-2)(x^2-2)^2,dx

Resposta

dy=3e^3x(3x^3- x^2-6x-2)(x^2-2)^2,dx

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