Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos 3 x)^{1 / \operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0^+ (cos 3x)^1/sin x
O conteúdo é cálculo de limite de expressão da forma (base)^expoente que tende a 1^infty. Vamos usar a mudança de variável via logaritmo natural e expansões em série de Taylor de ordem mínima.

Passo 2

Definimos
L = limxto0^+ (cos 3x)^1/sin x,
e consideramos
ln L = limxto0^+ lnl(cos 3xr)sin x

Passo 3

Usamos as expansões para xto0:
cos 3x = 1 - (3x)^22 + o(x^2) = 1 - 9x^22 + o(x^2),
lnl(cos 3xr) = -9x^22 + o(x^2),
sin x = x + o(x)

Passo 4

Substituindo na expressão de ln L:
ln L = limxto0^+ -9x^22 + o(x^2)x + o(x) = limxto0^+ l(-9x^22x + o(x)r) = limxto0^+ l(-9x2 + o(x)r) = 0

Passo 5

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ln L = 0 Longrightarrow L = e^0 = 1

Resposta

1

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