12- Considere a equação diferencial dos sistema massa-mola forçado sem amortecimento
. Mostre que a solução geral:
a) Se
é dada por
.
b) Se
é dada por
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial de um oscilador massa-mola forçado, sem amortecimento,
cuja frequência natural é
. Queremos achar a solução geral, que é a soma da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Resolvemos primeiro a parte homogênea
ou seja
A solução geral homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular para o caso
. Fazemos o palpite de coeficientes indeterminados
Calculando derivadas e substituindo em
, obtém–se
e
Logo
Passo 4
Combinando homogênea e particular, para
temos
Passo 5
No caso ressonante
, o palpite anterior falha pois gera divisor zero. Usamos então
Calculando
e substituindo em
verifica–se que os termos em
se cancelam, restando
Logo
Passo 6
Somando a solução homogênea, para
a solução geral é
Resposta
a) Para
:
b) Para
: