12- Considere a equação diferencial dos sistema massa-mola forçado sem amortecimento m u^prime prime+k u=F0 cos (omega t). Mostre que a solução geral:
a) Se omega neq omega0 é dada por u(t)=C1 cos (omega0 t)+C2 sen(omega0 t)+F0m(omega0 ^2-omega^2) cos (omega t).
b) Se omega=omega0 é dada por u(t)=C1 cos (omega0 t)+C2 sen(omega0 t)+F02 m omega0 t sen(omega0 t).

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial de um oscilador massa-mola forçado, sem amortecimento,
m,u''(t) + k,u(t) = F0cos(omega t),
cuja frequência natural é omega0=raiztfrackm. Queremos achar a solução geral, que é a soma da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Resolvemos primeiro a parte homogênea
m,u'' + k,u=0
ou seja
u'' + omega0^2,u=0
A solução geral homogênea é
uh(t)=C1cosl(omega0tr)+C2senl(omega0tr)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para o caso omeganeqomega0. Fazemos o palpite de coeficientes indeterminados
up(t)=Acos(omega t)+Bsen(omega t)
Calculando derivadas e substituindo em m,u''+k,u=F0cos(omega t), obtém–se ,B=0 e
A=F0ml(omega0^2-omega^2r)
Logo
up(t)=F0ml(omega0^2-omega^2r)cos(omega t)

Passo 4

Combinando homogênea e particular, para omeganeqomega0 temos
u(t)=C1cosl(omega0tr)+C2senl(omega0tr) +F0ml(omega0^2-omega^2r)cos(omega t)

Passo 5

No caso ressonante omega=omega0, o palpite anterior falha pois gera divisor zero. Usamos então
up(t)=A,t,senl(omega0tr)
Calculando up'' e substituindo em m,u''+k,u=F0cos(omega0t) verifica–se que os termos em t,sen(omega0t) se cancelam, restando
2mAomega0cos(omega0t)=F0cos(omega0t) Longrightarrow A=F02momega0
Logo
up(t)=F02momega0,t,senl(omega0tr)

Passo 6

Somando a solução homogênea, para omega=omega0 a solução geral é
u(t)=C1cosl(omega0tr)+C2senl(omega0tr) +F02momega0,t,senl(omega0tr)

Resposta

a) Para omeganeqomega0:
u(t)=C1cosl(omega0tr)+C2senl(omega0tr) +F0ml(omega0^2-omega^2r)cos(omega t)
b) Para omega=omega0:
u(t)=C1cosl(omega0tr)+C2senl(omega0tr) +F02momega0,t,senl(omega0tr)

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