13-Mostre que a solução do problema de valor inicial
a) Se
é dada por
b) Se
é dada por
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O problema é a equação de segundo ordem não homogênea
com condições iniciais
e
.
O conteúdo envolvido é a soma da solução geral da equação homogênea com uma solução particular obtida por coeficientes indeterminados; no caso de ressonância ( ) usa-se um ansatz modificado.
O conteúdo envolvido é a soma da solução geral da equação homogênea com uma solução particular obtida por coeficientes indeterminados; no caso de ressonância (
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
logo definindo
obtemos
Passo 3
Caso
, propomos
Então
e
Igualando a
vem
e
Passo 4
A solução geral para
é
Impondo
e
encontra-se
de modo que
Passo 5
Para
há ressonância e o ansatz anterior falha. Usa-se
Calculando
e lembrando
obtém-se
que deve igualar
, daí
Passo 6
A solução geral no caso ressonante é
Impondo
e
resulta
, logo
Resposta
a) Se
,
b) Se
,