13-Mostre que a solução do problema de valor inicial lm u^prime prime+k u=F0 cos (omega t), u(0)=0, u^prime(0)=0
a) Se omega neq omega0 é dada por u(t)=F0m(omega0 ^2-omega^2)(cos (omega t)-cos (omega0 t))
b) Se omega=omega0 é dada por u(t)=F02 m omega0 t sen(omega0 t).

Passo 1

O problema é a equação de segundo ordem não homogênea
m,u''(t) + k,u(t) = F0cos(omega t)
com condições iniciais u(0)=0 e u'(0)=0.
O conteúdo envolvido é a soma da solução geral da equação homogênea com uma solução particular obtida por coeficientes indeterminados; no caso de ressonância ( omega=omega0) usa-se um ansatz modificado.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
m,u'' + k,u = 0,
logo definindo omega0^2 = k/m obtemos
uh(t) = Acos(omega0 t) + Bsin(omega0 t)

Passo 3

Caso omeganeq omega0, propomos
up(t) = Ccos(omega t) + Dsin(omega t)
Então
up'' = -C,omega^2cos(omega t) - D,omega^2sin(omega t)
e
m,up'' + k,up = (k - momega^2),Ccos(omega t) + (k - momega^2),Dsin(omega t)
Igualando a F0cos(omega t) vem D=0 e
C = F0m(omega0^2 - omega^2)

Passo 4

A solução geral para omeganeqomega0 é
u(t) = Acos(omega0 t) + Bsin(omega0 t) + F0m(omega0^2 - omega^2)cos(omega t)
Impondo u(0)=0 e u'(0)=0 encontra-se
A=-F0m(omega0^2 - omega^2), B=0,
de modo que
u(t)=F0m(omega0^2 - omega^2)l(cos(omega t)-cos(omega0 t)r)

Passo 5

Para omega=omega0 há ressonância e o ansatz anterior falha. Usa-se
up(t) = C,tsin(omega0 t)
Calculando
up'' = 2C,omega0cos(omega0 t) - C,t,omega0^2sin(omega0 t)
e lembrando k=momega0^2 obtém-se
m,up'' + k,up = 2mC,omega0cos(omega0 t)
que deve igualar F0cos(omega0 t), daí
C=F02momega0

Passo 6

A solução geral no caso ressonante é
u(t)=Acos(omega0 t)+Bsin(omega0 t) +F02momega0,tsin(omega0 t)
Impondo u(0)=0 e u'(0)=0 resulta A=B=0, logo
u(t)=F02momega0,tsin(omega0 t)

Resposta

a) Se omeganeqomega0,
u(t)=F0ml(omega0^2-omega^2r) l(cos(omega t)-cos(omega0t)r)
b) Se omega=omega0,
u(t)=F02momega0,tsin(omega0t)

Exercícios relacionados