Considere a função f(x, y)=ll1-y, & y <=-x 1+x, & y>-x, definida para todos os pares de números reais (x, y).
(a) Determine de<a>0 tal que |f(x, y)-f(1,-1)|<10^-3 para todos os pontos (x, y) tais que |(x, y)-(1,-1)|<de<a.
(b) f é diferenciável no ponto (1,-1) ?
Dica: calcule as derivadas parciais de f por limites laterais.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= 1 - y, & y <= -x, 1 + x, & y > -x,
e pede em (a) um valor de de<a>0 tal que
|f(x,y)-f(1,-1)|<10^-3
sempre que |(x,y)-(1,-1)|<de<a; em (b) quer saber se f é diferenciável em (1,-1).
Para (a) vamos usar a definição de continuidade via varepsilon- de<a. Para (b) calculamos as derivadas parciais por limites laterais.

Passo 2

Primeiro, avaliamos
f(1,-1)
Note que em (1,-1) vale y=-1 e -x=-1, logo estamos na fronteira y=-x. Pela regra y<= -x escolhemos f(1,-1)=1-(-1)=2. Isso mostra também que as duas fórmulas coincidem na fronteira, garantindo continuidade estrutural.

Passo 3

Dado de<a>0, se |(x,y)-(1,-1)|<de<a então
|x-1|<de<a e |y+1|<de<a
Agora, se (x,y) cai na região y<= -x, então
|f(x,y)-2|=|,1-y-2,|=|y+1|<de<a
Se (x,y) cai em y>-x, então
|f(x,y)-2|=|,1+x-2,|=|x-1|<de<a
Para garantir ambas as desigualdades menores que 10^-3 basta escolher
de<a=10^-3

Passo 4

Para testar diferenciabilidade em (1,-1) olhamos as derivadas parciais por definição:
– Para partial f/partial x, mantemos y=-1 fixo e fazemos xto1.
Se x<1, estamos em y<= -x e f(x,-1)=1-(-1)=2 constante, logo o quociente l(f(x,-1)-2r)/(x-1)to0.
Se x>1, caímos em y>-x e f(x,-1)=1+x, então l(f(x,-1)-2r)/(x-1)=1.
Como os limites laterais são diferentes (0 e 1), partial f/partial x não existe em (1,-1).
De modo análogo partial f/partial y também falha: mover y para baixo dá derivada -1, para cima dá derivada 0.

Resposta

(a) Pode-se tomar de<a=10^-3.
(b) f não é diferenciável em (1,-1).

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