Um circuito possui um capacitor de 0,125 times 10^-1 F, um resistor de 60 Omega e um indutor de 10 H , em série. A carga inicial no capacitor é zero. No instante t=0 conecta-se o circuito a uma bateria cuja tensão é de 12 V e o circuito é fechado.
a) Determine a carga no capacitor em qualquer instante t>0.
b) Determine a carga no capacitor quando t +infty.
c) Esboce o gráfico da solução obtida.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC alimentado por uma fonte de tensão de 12,V a partir de t=0. Temos
;L = 10,H, ;R = 60, Omega, ;C = 0,125times 10^-1,F =0,0125,F. A carga inicial no capacitor é q(0)=0 e a corrente inicial é i(0)=q'(0)=0. Queremos achar a carga q(t) para t>0, seu valor quando tto+infty e esboçar o gráfico.

Passo 2

Escrevemos a equação de circuito usando a lei das malhas:
L,q''(t)+R,q'(t)+1C,q(t)=Vrm fonte
Substituindo valores e dividindo por L=10:
q''(t)+6,q'(t)+8,q(t)=1210=1,2

Passo 3

Resolvemos primeiro a equação homogênea
q''+6q'+8q=0
O polinômio característico é r^2+6r+8=0, com raízes
r=-2, r=-4
Logo a solução geral homogênea é
qh(t)=A,e^-2t+B,e^-4t

Passo 4

Procuramos uma solução particular constante qp=K. Substituindo em
q''+6q'+8q=1,2
vem 8K=1,2, ou seja
K=0,15
Então a solução geral é
q(t)=0,15 + A,e^-2t + B,e^-4t

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
  1. q(0)=0
0=0,15 + A + B;Longrightarrow;A+B=-0,15
  1. q'(0)=i(0)=0. Como q'(t)=-2A,e^-2t-4B,e^-4t, em t=0 fica
0=-2A-4B;Longrightarrow;A+2B=0
Resolvendo o sistema:
A+2B=0, A+B=-0,15
vem B=0,15 e A=-0,30.

Passo 6

Substituindo A e B obtemos a resposta completa:
boxedq(t)=0,15 -0,30,e^-2t +0,15,e^-4t(Coulombs)

Passo 7

Quando tto+infty, as exponenciais vão a zero, ficando
q(infty)=0,15 C

Passo 8

O gráfico de q(t) parte de zero, com inclinação inicial zero e faz uma subida monótona, aproximando-se assintoticamente de 0,15,C. Sendo
q(t)=0,15l(1-e^-2tr)^2,
a curva é côncava para cima no início e suaviza conforme t cresce.

Resposta

a) q(t)=0,15 -0,30,e^-2t +0,15,e^-4t\n
b) q(infty)=0,15,C.\n
c) Gráfico monótono crescente de q(t) de 0 a 0,15 C, com forma de l(1-e^-2tr)^2.

Exercícios relacionados