Um circuito possui um capacitor de
, um resistor de
e um indutor de 10 H , em série. A carga inicial no capacitor é zero. No instante
conecta-se o circuito a uma bateria cuja tensão é de 12 V e o circuito é fechado.
a) Determine a carga no capacitor em qualquer instante
.
b) Determine a carga no capacitor quando
.
c) Esboce o gráfico da solução obtida.
a) Determine a carga no capacitor em qualquer instante
b) Determine a carga no capacitor quando
c) Esboce o gráfico da solução obtida.
Passo 1
O enunciado descreve um circuito série RLC alimentado por uma fonte de tensão de
,V a partir de
. Temos
,H,
,
,
,F
,F. A carga inicial no capacitor é
e a corrente inicial é
. Queremos achar a carga
para
, seu valor quando
e esboçar o gráfico.
Passo 2
Escrevemos a equação de circuito usando a lei das malhas:
Substituindo valores e dividindo por
:
Passo 3
Resolvemos primeiro a equação homogênea
O polinômio característico é
, com raízes
Logo a solução geral homogênea é
Passo 4
Procuramos uma solução particular constante
. Substituindo em
vem
, ou seja
Então a solução geral é
Passo 5
Impondo as condições iniciais:
-
dá
-
. Como , em fica
Resolvendo o sistema:
vem
e
.
Passo 6
Substituindo
e
obtemos a resposta completa:
Passo 7
Quando
, as exponenciais vão a zero, ficando
Passo 8
O gráfico de
parte de zero, com inclinação inicial zero e faz uma subida monótona, aproximando-se assintoticamente de
,C. Sendo
a curva é côncava para cima no início e suaviza conforme
cresce.
Resposta
a)
\n
b) ,C.\n
c) Gráfico monótono crescente de de
a
C, com forma de
.
b)
c) Gráfico monótono crescente de