Q 12 Considere um operador linear T: R^2 R^2, tal que T(u)=u e T(v)=12 v. Determine T(3,7) se u=(0,2) e v=(2,6).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^2toR^2 com
T(u)=u, T(v)=tfrac12,v,
onde u=(0,2) e v=(2,6), e pede T(3,7).
Para resolver, vamos (i) verificar que u,v é base, (ii) decompor (3,7) nessa base e (iii) aplicar a linearidade de T.

Passo 2

Verificamos se u e v são linearmente independentes calculando o determinante da matriz cujas colunas são u e v:
det0 & 2 2 & 6 =0cdot6 - 2cdot2 =-4neq0
Como o determinante é não nulo, u,v é de fato uma base de R^2.

Passo 3

Queremos encontrar escalares
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem (b=\tfrac32]. Substituindo na segunda:

Passo 4

Pela linearidade de T,
T(3,7) = Tl(a,u + b,vr) = a,T(u) + b,T(v) = (-1),u + tfrac32cdottfrac12,v = -u + tfrac34,v
Substituindo u=(0,2) e v=(2,6) obtemos
T(3,7) = -(0,2) + tfrac34,(2,6) = (0,-2) + l(tfrac32,tfrac92r) = l(tfrac32,tfrac52r)

Resposta

T(3,7) = l(tfrac32,tfrac52r)

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