Exercício 10. (Hounie capítulo 2 ex. 2 e 5) Calcule as seguintes derivadas no sentido das distribuições:
partial^2partial x partial y(H(x) H(y)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista no sentido das distribuições de ;H(x),H(y), isto é,
partial^2partial x,partial yl(H(x),H(y)r)
O conteúdo principal aqui é a teoria de derivadas de distribuições, em que sabemos que a derivada da função de Heaviside H é a delta de Dirac de<a.

Passo 2

Lembramos que, na teoria de distribuições,
partialpartial xH(x)=de<a(x), partialpartial yH(y)=de<a(y)
Isso vale em sentido de distribuições, ou seja, depois de integrar contra uma função teste.

Passo 3

Primeiro aplicamos partial/partial x sobre H(x),H(y). Como H(y) é visto como constante em relação a x, temos
partialpartial xl(H(x),H(y)r) =l(partialx H(x)r),H(y) =de<a(x),H(y)

Passo 4

Agora aplicamos partial/partial y ao resultado de<a(x),H(y). Aqui de<a(x) é constante em y, logo
partialpartial yl(de<a(x),H(y)r) =de<a(x),l(partialy H(y)r) =de<a(x),de<a(y)

Resposta

partial^2partial x,partial yl(H(x),H(y)r) =de<a(x),de<a(y)

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