Exercício 10. (Hounie capítulo 2 ex. 2 e 5) Calcule as seguintes derivadas no sentido das distribuições:
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada mista no sentido das distribuições de
, isto é,
O conteúdo principal aqui é a teoria de derivadas de distribuições, em que sabemos que a derivada da função de Heaviside
é a delta de Dirac
.
Passo 2
Lembramos que, na teoria de distribuições,
Isso vale em sentido de distribuições, ou seja, depois de integrar contra uma função teste.
Passo 3
Primeiro aplicamos
sobre
. Como
é visto como constante em relação a
, temos
Passo 4
Agora aplicamos
ao resultado
. Aqui
é constante em
, logo