Exercício 11. (Hounie capítulo 2 ex. 7) Mostre que se
satisfaz
, então existe uma constante
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que
satisfaz
em que
é a delta de Dirac em
. Queremos mostrar que
para algum
, sendo
a função degrau de Heaviside vista como distribuição.
Passo 2
Recordamos que, em distribuições, a derivada é dada por
para todo teste
. Além disso, a distribuição de Heaviside
é definida por
e sua derivada é
Passo 3
Defina a distribuição
Então
Logo
tem derivada nula.
Passo 4
Se uma distribuição
satisfaz
, então
Dessa condição segue que
só pode depender de
. Mais precisamente, escolhemos uma
com
e escrevemos
O segundo termo tem integral zero, logo é derivada de outra função de teste e
nele vale zero. Assim
e, definindo
, obtemos
Isto é,
é a distribuição constante
.
Resposta
Portanto
com
constante.