Exercício 11. (Hounie capítulo 2 ex. 7) Mostre que se u in D^prime(R) satisfaz d ud x=de<a0, então existe uma constante c in C tal que u(x)=H(x)+c.

Passo 1

O enunciado diz que uinD'(R) satisfaz
dudx = de<a0
em que de<a0 é a delta de Dirac em 0. Queremos mostrar que
u(x)=H(x)+c
para algum cinC, sendo H a função degrau de Heaviside vista como distribuição.

Passo 2

Recordamos que, em distribuições, a derivada é dada por
dudx(varphi) ;=;-,u(varphi')
para todo teste varphiinD(R). Além disso, a distribuição de Heaviside H é definida por
H(varphi)=integral0^inftyvarphi(x),dx,
e sua derivada é
H'(varphi)=-!integral0^inftyvarphi'(x),dx =varphi(0) =de<a0(varphi)

Passo 3

Defina a distribuição
v ;=; u ;-; H
Então
dvdx =dudx-dHdx =de<a0-de<a0 =0
Logo v tem derivada nula.

Passo 4

Se uma distribuição v satisfaz v'=0, então
v(varphi')=0 forall,varphiinD(R)
Dessa condição segue que v só pode depender de integralRvarphi(x),dx. Mais precisamente, escolhemos uma psiinD(R) com integralpsi=1 e escrevemos
varphi =l(!integralvarphir)psi ;+;l[varphi-l(!integralvarphir)psir]
O segundo termo tem integral zero, logo é derivada de outra função de teste e v nele vale zero. Assim
v(varphi) =l(!integralvarphir),v(psi)
e, definindo c=v(psi)inC, obtemos
v(varphi)=cintegralRvarphi(x),dx
Isto é, v é a distribuição constante c.

Resposta

Portanto
u =H+v =H+c,
com cinC constante.

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