Exercício 12. (Grubb ex. 2.1) Seja
um intervalo aberto. Seja
uma função analítica. Mostre que se
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um intervalo aberto
e uma função
que é ao mesmo tempo analítica e de classe
(ou seja, suave e com suporte compacto em
). Queremos mostrar que isso obriga
a ser identicamente zero. Para isso, vamos usar dois fatos principais:
- Uma função analítica pode ser expandida em série de Taylor em torno de qualquer ponto do domínio, e essa série converge à própria função em alguma vizinhança.
- Se uma função suave tem suporte compacto, ela é zero num semi-intervalo que chega até o bordo do suporte, e daí todas as derivadas naquele bordo também são zero.
Passo 2
Como
tem suporte compacto em
, existe um conjunto compacto
tal que
para
. Defina
Como
e
é aberto, existe
tal que
e
para todo
.
Passo 3
Mostramos que todas as derivadas de
em
valem zero. De fato, para cada
, a definição de derivada de ordem
em
usa limites de diferenças finitas que envolvem valores de
em pontos
. Mas como
nessa região, todos esses limites são zero. Logo,
Passo 4
Pela analiticidade de
, existe
tal que, para todo
com
, vale a expansão de Taylor
Como cada coeficiente
já vimos que é zero, a soma inteira é zero, e portanto
Em particular
é zero num intervalo
.
Passo 5
Agora
é analítica em todo o intervalo
e sabemos que ela se anula em um subintervalo não trivial
. Pelo princípio de unicidade de funções analíticas (ou de continuidade da expansão em série de Taylor), isso implica que
deve ser zero em toda a componente conexa que contém esse subintervalo, isto é, em todo
.