Exercício 12. (Grubb ex. 2.1) Seja I subset R um intervalo aberto. Seja varphi: I C uma função analítica. Mostre que se varphi in Cc^infty(I), então varphi=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos um intervalo aberto IsubsetR e uma função varphicolon ItoC que é ao mesmo tempo analítica e de classe Cc^infty(I) (ou seja, suave e com suporte compacto em I). Queremos mostrar que isso obriga varphi a ser identicamente zero. Para isso, vamos usar dois fatos principais:
  1. Uma função analítica pode ser expandida em série de Taylor em torno de qualquer ponto do domínio, e essa série converge à própria função em alguma vizinhança.
  2. Se uma função suave tem suporte compacto, ela é zero num semi-intervalo que chega até o bordo do suporte, e daí todas as derivadas naquele bordo também são zero.

Passo 2

Como varphi tem suporte compacto em I, existe um conjunto compacto Ksubset I tal que varphi(x)=0 para xnotin K. Defina
alpha = inf K, beta=sup K
Como Ksubset I e I é aberto, existe varepsilon>0 tal que (alpha-varepsilon,alpha]subset I e varphi(x)=0 para todo xin(alpha-varepsilon,alpha].

Passo 3

Mostramos que todas as derivadas de varphi em x=alpha valem zero. De fato, para cada n>=0, a definição de derivada de ordem n em alpha usa limites de diferenças finitas que envolvem valores de varphi em pontos x<alpha. Mas como varphi(x)=0 nessa região, todos esses limites são zero. Logo,
varphi^(n)(alpha)=0 para todo n>=0

Passo 4

Pela analiticidade de varphi, existe de<a>0 tal que, para todo x com |x-alpha|<de<a, vale a expansão de Taylor
varphi(x) =sumn=0^inftyvarphi^(n)(alpha)n!,(x-alpha)^n
Como cada coeficiente varphi^(n)(alpha) já vimos que é zero, a soma inteira é zero, e portanto
varphi(x)=0 para |x-alpha|<de<a
Em particular varphi é zero num intervalo (alpha,alpha+de<a).

Passo 5

Agora varphi é analítica em todo o intervalo I e sabemos que ela se anula em um subintervalo não trivial (alpha,alpha+de<a). Pelo princípio de unicidade de funções analíticas (ou de continuidade da expansão em série de Taylor), isso implica que varphi deve ser zero em toda a componente conexa que contém esse subintervalo, isto é, em todo I.

Resposta

varphiequiv 0 em I.

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