1.12 Considere o sinal de tempo discreto
x[n]=1-\sum_{k=3}^{\infty} \delta[n-1-k]
Determine os valores dos números inteiros M e n_{0} de modo que x[n] possa ser expresso como
\chi[n]=u\left[M n-n_{0}\right] .

Passo 1

O enunciado define
x[n]=1-\sum_{k=3}^{\infty}\delta[n-1-k]
e pede para escrever x[n] na forma
\chi[n]=u\bigl(Mn - n_{0}\bigr),
onde u[\cdot] é o degrau unitário discreto. Vamos primeiro entender para quais n vale x[n]=1 ou x[n]=0.

Passo 2

Observe que
\sum_{k=3}^{\infty}\delta[n-1-k]
é não nulo exatamente quando existe k\ge3 tal que n-1-k=0, ou seja n=k+1 com k\ge3. Logo aparecem impulsos em
n=3+1=4,\;5,\;6,\dots
Assim
x[n]=1-1=0\quad\text{para }n\ge4,
e para n<4 nenhum impulso contribui, ficando
x[n]=1\quad\text{para }n\le3.

Passo 3

Queremos escolher M e n_{0} tais que
\chi[n]=u\bigl(Mn-n_{0}\bigr)
seja igual a 1 quando n\le3 e igual a 0 quando n\ge4. Lembrando que
u[k]= \begin{cases} 1,&k\ge0,\\\\ 0,&k<0, \end{cases}
precisamos de uma desigualdade do tipo
Mn - n_{0}\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad n\le3.

Passo 4

Para obter uma condição n\le3 a partir de Mn-n_{0}\ge0 basta escolher M<0. Seja por exemplo M=-1. Então a desigualdade
-1\cdot n - n_{0}\ge0
é equivalente a
-n \ge n_{0} \quad\Longleftrightarrow\quad n \le -\,n_{0}.
Para que isso seja n\le3 basta tomar -n_{0}=3, ou seja n_{0}=-3.

Resposta

M=-1 e n_{0}=-3, pois assim
\chi[n]=u\bigl(-n +3\bigr)
satisfaz \chi[n]=1 para n\le3 e \chi[n]=0 para n\ge4, exatamente igual a x[n].

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