Um sistema com realimentação unitária possui uma FTMA dada por G(s)=\frac{1000(s+8)}{(s+7)(s+9)}.
(a) O sistema é estável em malha fechada?
(b) Determine o tipo do sistema e os valores de suas constantes de erro em regime ( K_{p}, K_{v} e K_{a} ).
(c) Determine o valor do erro em regime permanente que seria observado no sistema caso: r(t)=u(t); r(t)=t u(t); ou r(t)=t^{2} u(t).

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de realimentação unitária cujo caminho direto tem função de transferência
G(s)=\frac{1000\,(s+8)}{(s+7)(s+9)}.
Precisamos verificar: (a) estabilidade em malha fechada; (b) tipo do sistema e constantes de erro K_{p}, K_{v}, K_{a}; (c) erro em regime permanente para entradas passo, rampa e parabólica.

Passo 2

Para checar a estabilidade em malha fechada, consideramos a equação característica
1+G(s)=0 \;\Longrightarrow\; (s+7)(s+9)+1000\,(s+8)=0.
Expandindo,
s^2+16s+63+1000s+8000=0 \;\Longrightarrow\; s^2+1016\,s+8063=0.
Os coeficientes são todos positivos, logo as raízes têm parte real negativa (critério de Routh ou teste de sinais de Hurwitz). Concluímos que o sistema em malha fechada é estável.

Passo 3

O tipo do sistema é dado pelo número de polos em zero de G(s). Como G(s) não tem fator 1/s, trata-se de um sistema do tipo 0. As constantes de erro definem-se por
K_{p}=\lim_{s\to0}G(s), \quad K_{v}=\lim_{s\to0}s\,G(s), \quad K_{a}=\lim_{s\to0}s^2\,G(s).
Calculando
K_{p} =\lim_{s\to0}\frac{1000\,(s+8)}{(s+7)(s+9)} =\frac{1000\cdot8}{7\cdot9} =\frac{8000}{63}\approx126{,}984,
K_{v} =\lim_{s\to0}s\,\frac{1000\,(s+8)}{(s+7)(s+9)} =0, \quad K_{a} =\lim_{s\to0}s^2\,\frac{1000\,(s+8)}{(s+7)(s+9)} =0.

Passo 4

Para um sistema tipo 0 os erros em regime permanente são
para entrada passo r(t)=u(t):
e_{ss} =\frac{1}{1+K_{p}} =\frac{1}{1+\tfrac{8000}{63}} =\frac{63}{8063}\approx0{,}00781.
para entrada rampa r(t)=t\,u(t):
e_{ss} =\frac{1}{K_{v}} =\infty.
para entrada parabólica r(t)=t^2\,u(t):
e_{ss} =\frac{1}{K_{a}} =\infty.

Resposta

(a) O sistema em malha fechada é estável.
(b) É um sistema do tipo 0 com K_{p}=\tfrac{8000}{63}\approx126{,}98, K_{v}=0, K_{a}=0.
(c) Erro em regime permanente:
para passo e_{ss}\approx0{,}00781;
para rampa e_{ss}=\infty;
para parabólica e_{ss}=\infty.

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