Um sistema de mistura com tanque agitado, inicialmente está cheio de água e está sendo alimentado com água pura a uma vazão constante, q. Em um determinado momento, um operador desliga o fluxo de água pura e adiciona solução cáustica na mesma vazão volumétrica q , mas com concentração \bar{c}_{i}. Se o volume de líquido V é constante, o modelo dinâmico para este processo é: \frac{V d c}{d t}+q c=q \bar{c}_{i}. Qual é a resposta da concentração da corrente de efluente do reator, c(t) ? Sendo o processo com as características: V=2 m^{3} ; \overline{c_{i}}=\frac{50 \mathrm{~kg}}{m^{3}} ; q=0,43 \frac{m^{3}}{\min }, qual o teor de soda cáustica na mistura após 13 minutos?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume constante V em que primeiro circula água pura e depois, a vazão volumétrica q de água pura é substituída por uma solução cáustica de concentração \overline{c_i}. O modelo dinâmico dado é
V\frac{dc}{dt} + q\,c = q\,\overline{c_i}.
O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial linear de primeira ordem para achar c(t), com a condição inicial c(0)=0 (tanque inicialmente cheio de água pura).

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo por V:
\frac{dc}{dt} + \frac{q}{V}\,c = \frac{q}{V}\,\overline{c_i}.
Esta é uma EDO linear cujo coeficiente de amortecimento é \tfrac{q}{V} e termo forçante constante \tfrac{q}{V}\overline{c_i}.

Passo 3

A solução geral é soma da solução homogênea e de uma solução particular.
A homogênea satisfaz
\frac{dc_h}{dt} + \frac{q}{V}c_h = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_h(t)=A\,e^{-\frac{q}{V}t}.
Como o termo forçante é constante, existe uma solução particular constante c_p dada por
\frac{q}{V}c_p = \frac{q}{V}\,\overline{c_i} \quad\Longrightarrow\quad c_p = \overline{c_i}.
Logo a solução geral é
c(t) = A\,e^{-\frac{q}{V}t} + \overline{c_i}.

Passo 4

Usamos a condição inicial c(0)=0:
c(0)=A + \overline{c_i}=0 \quad\Longrightarrow\quad A = -\,\overline{c_i}.
Assim
c(t) = \overline{c_i}\Bigl(1 - e^{-\frac{q}{V}t}\Bigr).

Passo 5

Substituindo os valores numéricos V=2, m^{3}, \overline{c_i}=50,kg/ m^{3} e q=0,43, m^{3}/min, calcula-se a constante de tempo
\frac{q}{V} = \frac{0,43}{2} = 0,215\\ \text{min}^{-1}.
Em t=13 min,
c(13) = 50\Bigl(1 - e^{-0,215\times13}\Bigr) = 50\bigl(1 - e^{-2,795}\bigr) \approx 50\,(1 - 0,061) \approx 46{,}95\\ \text{kg/m}^3.

Resposta

A concentração na corrente de efluente é
c(t) = \overline{c_i}\Bigl(1 - e^{-\frac{q}{V}t}\Bigr),
e, após 13 minutos, vale aproximadamente 46{,}95,kg/ m^{3}.

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