Um termopar tem as seguintes características quando é imerso em um banho agitado: massa do termopar igual a 1 g ; capacidade de calor do termopar é de 0,25 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}; coeficiente de transferência de calor de 20 \mathrm{cal} / \mathrm{cm}^{2} \mathrm{~h}^{\circ} \mathrm{C} (para o termopar e o banho); área da superfície do termopar de 3 \mathrm{~cm}^{2}. Sabe-se que o modelo matemático é m C \frac{d T}{d t}=h A\left(T_{S}-T\right), onde m é massa do termopar; C é a capacidade de calor do termopar; h é coeficiente de transferência de calor; A é a área de superfície do termopar; t é o tempo em segundos. Pede-se: a) Obter um modelo de função de transferência para o termopar relacionando a mudança em sua temperatura de saida T(t) indicada para a mudança na temperatura de suas vizinhanças \mathrm{T}_{\mathrm{s}} assumindo temperatura uniforme (sem gradientes no termopar), nenhuma condução nos condutores, propriedades físicas constantes. b) Se o termopar estiver inicialmente fora do banho e à temperatura ambiente de 23^{\circ} \mathrm{C}, qual é a temperatura máxima que será registrada se o termopar for repentinamente mergulhado no banho que está a 80^{\circ} \mathrm{C} e for mantido mergulhado por 20 segundos?

Passo 1

O enunciado trata do aquecimento de um termopar imerso num banho agitado a temperatura uniforme T_{S}. O modelo físico é de um sistema de primeira ordem por convecção, dado por
m C \frac{dT}{dt} = h A \bigl(T_{S} - T(t)\bigr),
onde
  • m=1\\ \mathrm{g} é a massa do termopar,
  • C=0{,}25\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C} é sua capacidade térmica,
  • h=20\\ \mathrm{cal}/\mathrm{cm}^2\,\mathrm{h}^\circ\mathrm{C} é o coeficiente de convecção,
  • A=3\\ \mathrm{cm}^2 é a área de troca,
  • T(t) é a temperatura do termopar e T_{S} a temperatura do banho (entrada).
O conteúdo será modelar a função de transferência G(s)=T(s)/T_{S}(s) e, em seguida, usar a resposta ao degrau para calcular T(20\\ \mathrm{s}).

Passo 2

Converter unidades de hA para segundos. Primeiro,
hA = 20\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{cm}^2\,\mathrm{h}^\circ\mathrm{C}}\times 3\\ \mathrm{cm}^2 = 60\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{h}^\circ\mathrm{C}}.
Como 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s},
hA = \frac{60}{3600}\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{s}^\circ\mathrm{C}} = 0{,}01667\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{s}^\circ\mathrm{C}}.
A massa vezes capacidade é
mC = 1\\ \mathrm{g}\times 0{,}25\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}} = 0{,}25\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{^\circ C}}.

Passo 3

Reescrevendo o ODE em domínio de Laplace (condições iniciais nulas para achar a TF):
mC\,s\,T(s) = hA\bigl(T_{S}(s) - T(s)\bigr).
Agrupando T(s):
\bigl(mC\,s + hA\bigr)T(s) = hA\,T_{S}(s).
Logo, a função de transferência é
G(s)\;=\;\frac{T(s)}{T_{S}(s)} \;=\; \frac{hA}{mC\,s + hA}.

Passo 4

Inserindo os valores numéricos:
G(s) = \frac{0{,}01667}{0{,}25\,s + 0{,}01667} = \frac{0{,}01667}{0{,}25}\,\frac{1}{s + \frac{0{,}01667}{0{,}25}} = \frac{1}{15}\,\frac{1}{s + \tfrac{1}{15}}.
Define-se a constante de tempo
\tau = \frac{mC}{hA} = \frac{0{,}25}{0{,}01667} = 15\\ \mathrm{s},
ficando
G(s) = \frac{1}{\tau}\,\frac{1}{s + \tfrac{1}{\tau}} = \frac{1}{15}\,\frac{1}{s + 1/15}.

Passo 5

Para um degrau de amplitude T_{S}, a resposta no tempo é
T(t) \;=\; T_{S}\Bigl(1 - e^{-t/\tau}\Bigr) + T(0)\,e^{-t/\tau} = T_{S} - \bigl(T_{S}-T(0)\bigr)e^{-t/\tau}.

Passo 6

No item (b), T_{S}=80\,^\circ\mathrm{C}, T(0)=23\,^\circ\mathrm{C}, \tau=15\,\mathrm{s} e t=20\,\mathrm{s}.
T(20) = 80 - (80 - 23)e^{-20/15} = 80 - 57\,e^{-1{,}3333} \approx 80 - 57\times0{,}2636 \approx 80 - 15{,}03 = 64{,}97\,^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) \displaystyle G(s)=\frac{T(s)}{T_{S}(s)}=\frac{hA}{mC\,s + hA}=\frac{1}{15}\,\frac{1}{s + 1/15}.
(b) Após 20 s, T(20)\approx 64{,}97\,^\circ\mathrm{C}.

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