14- Dado um escoamento com as seguintes características:
  • Regime Permanente;
  • Ausência de efeitos convectivos;
  • Ausência de efeitos difusivos;
Mostre como fica a forma simplificada da equação de Navier-Stokes e calcule a pressão na direção x_{3}.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento de fluido em regime permanente, sem termos convectivos nem difusivos. O conteúdo aqui é mecânica dos fluidos, mais especificamente a forma simplificada da equação de Navier–Stokes (que, sem viscosidade e sem aceleração convectiva, se reduz à equação de Euler estática) e, a partir dela, determinar a pressão ao longo da direção \,x_{3}\,.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da equação de Navier–Stokes incompressível com densidade constante \rho:
\rho\Bigl(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\Bigr) = -\nabla p + \mu\nabla^{2}\mathbf{u} + \rho\,\mathbf{f}.
Como o escoamento é permanente \partial\mathbf{u}/\partial t=0, sem efeitos convectivos \bigl((\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=0\bigr) e sem efeitos difusivos \bigl(\mu\nabla^{2}\mathbf{u}=0\bigr), sobra
0 = -\nabla p + \rho\,\mathbf{f},
ou seja
\nabla p = \rho\,\mathbf{f}.

Passo 3

Para um campo de gravidade uniforme apontando para baixo, tomamos o vetor de corpo \mathbf{f}=(0,0,-g) (eixo x_{3} apontando para cima). A componente x_{3} da equação \nabla p = \rho\,\mathbf{f} é
\frac{\partial p}{\partial x_{3}} \;=\;\rho\,f_{3}\;=\;\rho\,(-g) \;=\;-\,\rho\,g.

Passo 4

Integramos em x_{3}:
\frac{\partial p}{\partial x_{3}} = -\rho\,g \quad\Longrightarrow\quad p(x_{3}) = -\,\rho\,g\,x_{3} + C,
sendo C uma constante de integração determinada pela condição de pressão em um nível de referência.

Resposta

A forma simplificada da equação de Navier–Stokes é
\nabla p = \rho\,\mathbf{f},
e a pressão na direção x_{3} fica
p(x_{3}) = -\,\rho\,g\,x_{3} + C.

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