*12. Demonstrar que para n \geqq 3 o subgrupo gerado pelos 3-ciclos é A_{n}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se demonstrar que, para n\geqq 3, o subgrupo de S_n gerado por todos os 3-ciclos é exatamente A_n.
  • Informações relevantes:
    • S_n é o grupo de todas as permutações de n elementos.
    • A_n é o subgrupo de S_n formado por todas as permutações pares (ou seja, com assinatura +1).
    • Um 3-ciclo é uma permutação do tipo (a\\ b\\ c) que envia a\mapsto b, b\mapsto c, c\mapsto a e deixa os outros elementos fixos.
  • Objetivo concreto: mostrar que o conjunto de todas as combinações (produtos) de 3-ciclos coincide com A_n.

Passo 2

Mostrar que todo 3-ciclo é uma permutação par (portanto o grupo gerado por 3-ciclos está contido em A_n).
  • Recordando um fato básico sobre ciclos: um k-ciclo pode ser escrito como produto de k-1 transposições pela fórmula padrão
(a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k)=(a_1\\ a_k)(a_1\\ a_{k-1})\cdots(a_1\\ a_2).
  • Aplicando isso a um 3-ciclo (a\\ b\\ c) obtemos
(a\\ b\\ c)=(a\\ c)(a\\ b),
ou seja, um 3-ciclo é produto de duas transposições. Como cada transposição tem assinatura -1, a assinatura do produto de duas transposições é (-1)^2=+1.
  • Conclusão deste passo: todo 3-ciclo é par, logo o subgrupo H gerado por todos os 3-ciclos satisfaz H\subseteq A_n.

Passo 3

Estratégia para a inclusão inversa A_n\subseteq H: escrever qualquer permutação par como produto de 3-ciclos.
  • Uma permutação par pode ser escrita como produto de um número par de transposições. Ou seja, dado \sigma\in A_n, existe um inteiro m tal que
\sigma=\tau_1\tau_2\cdots\tau_{2m},
onde cada \tau_i é uma transposição.
  • Se mostrar que qualquer produto de duas transposições é produto de 3-ciclos, então podemos agrupar as 2m transposições em m pares e converter cada par em 3-ciclos; assim \sigma será produto de 3-ciclos e portanto estará em H.
  • Logo o núcleo da prova é: para quaisquer transposições \alpha e \beta devemos exibir uma expressão de \alpha\beta como produto de 3-ciclos (ou a identidade, caso apareçam pares iguais).

Passo 4

Converter pares de transposições em produtos de 3-ciclos — tratar os casos possíveis (disjuntas, com interseção de um elemento, iguais).
  • Caso 1: as transposições são iguais, (a\\ b)(a\\ b)=\mathrm{id}. A identidade é produto vazio de 3-ciclos, logo não há problema.
  • Caso 2: as transposições compartilham exatamente um elemento, por exemplo (a\\ b)(b\\ c). Verifica-se diretamente que
(a\\ b)(b\\ c)=(a\\ b\\ c).
Isto é, o produto é exatamente um 3-ciclo.
  • Caso 3: as transposições são disjuntas, por exemplo (a\\ b)(c\\ d) com a,b,c,d todos distintos. Então há a identidade útil
(a\\ b)(c\\ d)=(a\\ b\\ c)(a\\ c\\ d).
Vamos checar rapidamente: aplicar o lado direito numa entrada qualquer mostra que envia a\mapsto b, b\mapsto a, c\mapsto d, d\mapsto c e fixa os demais, que é exatamente o efeito de (a\\ b)(c\\ d). Assim o produto de duas transposições disjuntas é produto de dois 3-ciclos.
  • Observação sobre outros arranjos: se as duas transposições compartilham duas entradas (ou seja são iguais), estamos no Caso 1; se compartilham uma, Caso 2; se não compartilham, Caso 3. Não há mais casos.

Passo 5

Concluir que qualquer permutação par é produto de 3-ciclos.
  • Tome \sigma\in A_n. Escreva \sigma como produto de 2m transposições:
\sigma=\tau_1\tau_2\cdots\tau_{2m}.
  • Agrupe as transposições em pares consecutivos:
\sigma=(\tau_1\tau_2)(\tau_3\tau_4)\cdots(\tau_{2m-1}\tau_{2m}).
  • Pelo Passo 4, cada par \tau_{2k-1}\tau_{2k} é produto de um ou dois 3-ciclos (ou a identidade). Portanto \sigma é produto de 3-ciclos. Logo \sigma\in H.
  • Assim A_n\subseteq H.

Passo 6

Juntando as inclusões e finalizando a demonstração.
  • Do Passo 2 temos H\subseteq A_n.
  • Do Passo 5 temos A_n\subseteq H.
  • Portanto H=A_n. Ou seja, o subgrupo gerado por todos os 3-ciclos é exatamente A_n para todo n\geqq 3.

Resposta

O subgrupo gerado pelos 3-ciclos é A_{n}.

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