*12. Demonstrar que para
o subgrupo gerado pelos 3-ciclos é
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se demonstrar que, para
, o subgrupo de gerado por todos os 3-ciclos é exatamente . - Informações relevantes:
-
é o grupo de todas as permutações de elementos. -
é o subgrupo de formado por todas as permutações pares (ou seja, com assinatura ). - Um 3-ciclo é uma permutação do tipo
que envia , , e deixa os outros elementos fixos.
-
- Objetivo concreto: mostrar que o conjunto de todas as combinações (produtos) de 3-ciclos coincide com
.
Passo 2
Mostrar que todo 3-ciclo é uma permutação par (portanto o grupo gerado por 3-ciclos está contido em
).
- Recordando um fato básico sobre ciclos: um
-ciclo pode ser escrito como produto de transposições pela fórmula padrão
- Aplicando isso a um 3-ciclo
obtemos
ou seja, um 3-ciclo é produto de duas transposições. Como cada transposição tem assinatura
, a assinatura do produto de duas transposições é
.
- Conclusão deste passo: todo 3-ciclo é par, logo o subgrupo
gerado por todos os 3-ciclos satisfaz .
Passo 3
Estratégia para a inclusão inversa
: escrever qualquer permutação par como produto de 3-ciclos.
- Uma permutação par pode ser escrita como produto de um número par de transposições. Ou seja, dado
, existe um inteiro tal que
onde cada
é uma transposição.
- Se mostrar que qualquer produto de duas transposições é produto de 3-ciclos, então podemos agrupar as
transposições em pares e converter cada par em 3-ciclos; assim será produto de 3-ciclos e portanto estará em . - Logo o núcleo da prova é: para quaisquer transposições
e devemos exibir uma expressão de como produto de 3-ciclos (ou a identidade, caso apareçam pares iguais).
Passo 4
Converter pares de transposições em produtos de 3-ciclos — tratar os casos possíveis (disjuntas, com interseção de um elemento, iguais).
- Caso 1: as transposições são iguais,
. A identidade é produto vazio de 3-ciclos, logo não há problema. - Caso 2: as transposições compartilham exatamente um elemento, por exemplo
. Verifica-se diretamente que
Isto é, o produto é exatamente um 3-ciclo.
- Caso 3: as transposições são disjuntas, por exemplo
com todos distintos. Então há a identidade útil
Vamos checar rapidamente: aplicar o lado direito numa entrada qualquer mostra que envia
,
,
,
e fixa os demais, que é exatamente o efeito de
. Assim o produto de duas transposições disjuntas é produto de dois 3-ciclos.
- Observação sobre outros arranjos: se as duas transposições compartilham duas entradas (ou seja são iguais), estamos no Caso 1; se compartilham uma, Caso 2; se não compartilham, Caso 3. Não há mais casos.
Passo 5
Concluir que qualquer permutação par é produto de 3-ciclos.
- Tome
. Escreva como produto de transposições:
- Agrupe as transposições em pares consecutivos:
- Pelo Passo 4, cada par
é produto de um ou dois 3-ciclos (ou a identidade). Portanto é produto de 3-ciclos. Logo . - Assim
.
Passo 6
Juntando as inclusões e finalizando a demonstração.
- Do Passo 2 temos
. - Do Passo 5 temos
. - Portanto
. Ou seja, o subgrupo gerado por todos os 3-ciclos é exatamente para todo .
Resposta
O subgrupo gerado pelos 3-ciclos é
.