Determinar quais das seguintes são permutações pares:
(b) [(1,2,3,4,5)(1,2,3)(4,5)].

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a permutação
(1\,2\,3\,4\,5)(1\,2\,3)(4\,5)
é uma permutação par (ou seja, se pode ser escrita como produto de um número par de transposições). As informações dadas são exactamente essas três ciclos escritos em composição (na ordem escrita).

Passo 2

Definição importante (passo-a-passo): uma permutação é chamada par se ela puder ser expressa como produto de um número par de transposições (transposição = ciclo de comprimento 2). Caso contrário é ímpar. Uma propriedade crucial: a paridade é bem definida e invariante — qualquer decomposição em transposições de uma mesma permutação terá sempre paridade ( par ou ímpar ) igual. Portanto basta contar o número total de transposições numa decomposição para decidir a paridade.

Passo 3

Fórmula prática para ciclos: um ciclo de comprimento k,
(a_1\,a_2\,\dots\,a_k),
pode ser escrito como produto de k-1 transposições pela identidade padrão
(a_1\,a_2\,\dots\,a_k)=(a_1\,a_k)(a_1\,a_{k-1})\cdots(a_1\,a_2).
Logo, a paridade de um ciclo de comprimento k é a paridade de k-1. Em particular:
  • um 5-ciclo usa 5-1=4 transposições (par);
  • um 3-ciclo usa 3-1=2 transposições (par);
  • um 2-ciclo (transposição) usa 2-1=1 transposição (ímpar).

Passo 4

Aplicando isso aos ciclos do enunciado, escrevemos explicitamente cada um como produto de transposições:
(1\,2\,3\,4\,5) = (1\,5)(1\,4)(1\,3)(1\,2)\quad\text{(usa \(4\) transposições)},çõ
(1\,2\,3) = (1\,3)(1\,2)\quad\text{(usa \(2\) transposições)},çõ
(4\,5) = (4\,5)\quad\text{(usa \(1\) transposição)}.çã
Note que escrevi cada ciclo na forma padrão para contar transposições; a ordem dessas transposições dá uma decomposição concreta, mas só a contagem importa para a paridade.

Passo 5

Contagem total de transposições na decomposição acima:
(5-1)+(3-1)+(2-1)=4+2+1=7.
Como 7 é ímpar, a permutação é ímpar. Outra maneira curta de ver: o 5-ciclo é par, o 3-ciclo é par e a transposição (4\,5) é ímpar; produto de par \times par \times ímpar = ímpar.

Resposta

Ímpar.

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