Encontrar uma função
talque
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede encontrar uma função
tal que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. - Equação diferencial dada:
. - Condição inicial dada:
.
Ou seja, precisamos achar uma funçãoque tenha derivada somada com igual a zero e que, no ponto , vale .
Passo 2
Transformar a equação para uma forma direta de integrar:
Da equação isolamos
:
Da equação
Aqui
é a derivada de
em relação a
. Para encontrar
a partir de
usamos o conceito de antiderivada (primitiva): uma função
é antiderivada de
se
. Logo, precisamos de uma antiderivada de
.
Passo 3
Calcular a antiderivada de
e explicar por que aparece uma constante:
Sabemos que a derivada de é
. Portanto uma antiderivada de
é
. Ao integrar, deve-se acrescentar uma constante arbitrária
porque a derivada de qualquer constante é zero, então todas as funções
têm a mesma derivada
. Assim:
Sabemos que a derivada de
onde
é uma constante real que ainda precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Usar a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo em
temos
Substituindo
Como
, segue
Passo 5
Escrever a solução final e verificar rapidamente:
Com obtemos
Com
Verificação rápida:
- Derivando:
, portanto está satisfeita. - Condição inicial:
está satisfeita.