Encontrar uma função f talque f^{\prime}(x)+\operatorname{senx}=0 e f(0)=2.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede encontrar uma função f tal que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
  • Equação diferencial dada: f^{\prime}(x)+\operatorname{sen}x=0.
  • Condição inicial dada: f(0)=2.
    Ou seja, precisamos achar uma função f(x) que tenha derivada somada com \operatorname{sen}x igual a zero e que, no ponto x=0, vale 2.

Passo 2

Transformar a equação para uma forma direta de integrar:
Da equação f^{\prime}(x)+\operatorname{sen}x=0 isolamos f^{\prime}(x):
f^{\prime}(x) = -\operatorname{sen}x.
Aqui f^{\prime}(x) é a derivada de f em relação a x. Para encontrar f a partir de f^{\prime} usamos o conceito de antiderivada (primitiva): uma função F é antiderivada de g se F'(x)=g(x). Logo, precisamos de uma antiderivada de -\operatorname{sen}x.

Passo 3

Calcular a antiderivada de -\operatorname{sen}x e explicar por que aparece uma constante:
Sabemos que a derivada de \cos x é -\operatorname{sen}x. Portanto uma antiderivada de -\operatorname{sen}x é \cos x. Ao integrar, deve-se acrescentar uma constante arbitrária C porque a derivada de qualquer constante é zero, então todas as funções \cos x + C têm a mesma derivada -\operatorname{sen}x. Assim:
f(x)=\cos x + C,
onde C é uma constante real que ainda precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Usar a condição inicial f(0)=2 para encontrar C:
Substituindo x=0 em f(x)=\cos x + C temos
f(0)=\cos 0 + C = 1 + C.
Como f(0)=2, segue
1 + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C = 1.

Passo 5

Escrever a solução final e verificar rapidamente:
Com C=1 obtemos
f(x)=\cos x + 1.
Verificação rápida:
  • Derivando: f^{\prime}(x) = -\operatorname{sen}x, portanto f^{\prime}(x)+\operatorname{sen}x=0 está satisfeita.
  • Condição inicial: f(0)=\cos 0 + 1 = 1+1=2 está satisfeita.

Resposta

f(x)=\cos x+1

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