Calcule as temperaturas de Boyle para o oxigênio usando os valores das constantes de van der Waals e compare com os resultados experimentais. ( a=1,360 \mathrm{~atm} \mathrm{~L}^{2} \mathrm{mol}^{-2} ; \mathrm{b}=0,03183 \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1} ; \mathrm{T}_{\mathrm{B}}=405 \mathrm{~K} )

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a temperatura de Boyle do oxigênio usando as constantes de van der Waals fornecidas e que eu compare esse valor com o resultado experimental. As informações dadas são:
a = 1{,}360\\ \mathrm{atm\;L^2\;mol^{-2}},\qquad b = 0{,}03183\\ \mathrm{L\;mol^{-1}},\qquad T_{\mathrm{B,exp}} = 405\\ \mathrm{K}.
A tarefa é: (1) calcular a temperatura de Boyle a partir de a e b; (2) comparar esse valor com T_{\mathrm{B,exp}}.

Passo 2

O que é a temperatura de Boyle? Vou explicar passo a passo, devagar e sem pular etapas: a temperatura de Boyle T_B é a temperatura em que o segundo coeficiente virial B(T) é nulo. O coeficiente virial aparece na expansão do fator de compressibilidade Z em baixas densidades:
Z\equiv\frac{P V_m}{R T}=1+\frac{B(T)}{V_m}+\mathcal{O}\!\left(\frac{1}{V_m^2}\right),
onde P é a pressão, V_m é o volume molar ( V_m=V/n para uma mol), R é a constante universal dos gases e T é a temperatura. Quando B(T_B)=0, a primeira correção à lei dos gases ideais some e o gás se comporta quase ideal em baixas densidades — essa é a definição física de T_B.

Passo 3

Agora mostro como obter B(T) a partir da equação de van der Waals (passo a passo). A equação de van der Waals para uma mole ( n=1) é
P=\frac{R T}{V_m-b}-\frac{a}{V_m^2}.
Definimos o fator de compressibilidade
Z=\frac{P V_m}{R T}.
Substituindo P na definição de Z obtemos
Z=\frac{V_m}{V_m-b}-\frac{a}{R T V_m}.
Agora expandimos \dfrac{V_m}{V_m-b} em série para baixa densidade (isto é, para b/V_m\ll1) usando a série geométrica:
\frac{V_m}{V_m-b}=\frac{1}{1-b/V_m}=1+\frac{b}{V_m}+\frac{b^2}{V_m^2}+\cdots.
Substituindo essa expansão em Z e agrupando os termos de ordem 1/V_m, obtemos
Z=1+\left(b-\frac{a}{R T}\right)\frac{1}{V_m}+\mathcal{O}\!\left(\frac{1}{V_m^2}\right).
Comparando com a forma virial Z=1+B(T)/V_m+\cdots, concluímos que, para o modelo de van der Waals,
B(T)=b-\frac{a}{R T}.
Aqui expliquei o que cada símbolo significa: B(T) é o segundo coeficiente virial (unidade: \mathrm{L\;mol^{-1}}), b tem unidade \mathrm{L\;mol^{-1}}, a tem unidade \mathrm{atm\;L^2\;mol^{-2}}, R é a constante dos gases e T é a temperatura em kelvin.

Passo 4

A temperatura de Boyle T_B é definida por B(T_B)=0. Usando a expressão obtida:
0=b-\frac{a}{R T_B}.
Isolando T_B temos
T_B=\frac{a}{b R}.

Passo 5

Agora calculo numericamente usando as constantes dadas. Para consistência de unidades uso R em unidades compatíveis com a e b:
R=0{,}082057\\ \mathrm{L\;atm\;K^{-1}\;mol^{-1}}.
Calculo o produto bR:
bR=0{,}03183\times 0{,}082057 \approx 0{,}00261188\\ \mathrm{atm\;L\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Agora T_B:
T_B=\frac{a}{bR}=\frac{1{,}360}{0{,}00261188}\approx 520{,}8\\ \mathrm{K}.
Arredondando razoavelmente, T_B\approx 521\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Faço a comparação com o valor experimental T_{\mathrm{B,exp}}=405\\ \mathrm{K}. A diferença relativa é
\frac{T_B - T_{\mathrm{B,exp}}}{T_{\mathrm{B,exp}}}=\frac{520{,}8-405}{405}\approx 0{,}2856\approx 28{,}6\%.
Ou seja, o valor previsto pela equação de van der Waals é cerca de 28{,}6\% maior que o experimental.

Passo 7

Interpretação compacta e dicas para a prova (sem pular passos): a fórmula direta que você pode memorizar/usar é
T_B=\frac{a}{bR},
válida quando a e b são as constantes de van der Waals e R está na mesma unidade. Se na prova der a e b em outras unidades, converta para \mathrm{atm} e \mathrm{L} ou use R apropriado. Lembre-se que o modelo de van der Waals fornece só o termo de segunda ordem correto na aproximação simples; discrepâncias com dados experimentais de O(10\%-30\%) são comuns porque muitos efeitos reais (termos de ordem superior na expansão virial, detalhe da interação molecular, efeitos quânticos em gases diatômicos) não estão totalmente capturados por a e b.

Resposta

Temperatura de Boyle (van der Waals) = 520{,}8\\ \mathrm{K} (aprox. 521\\ \mathrm{K}).
Comparação com experimento ( T_{\mathrm{B,exp}}=405\\ \mathrm{K}): diferença ≈ 28{,}6\% (valor de van der Waals maior).

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