Calcule as temperaturas de Boyle para o oxigênio usando os valores das constantes de van der Waals e compare com os resultados experimentais. (
)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a temperatura de Boyle do oxigênio usando as constantes de van der Waals fornecidas e que eu compare esse valor com o resultado experimental. As informações dadas são:
A tarefa é: (1) calcular a temperatura de Boyle a partir de
e
; (2) comparar esse valor com
.
Passo 2
O que é a temperatura de Boyle? Vou explicar passo a passo, devagar e sem pular etapas: a temperatura de Boyle
é a temperatura em que o segundo coeficiente virial
é nulo. O coeficiente virial aparece na expansão do fator de compressibilidade
em baixas densidades:
onde
é a pressão,
é o volume molar (
para uma mol),
é a constante universal dos gases e
é a temperatura. Quando
, a primeira correção à lei dos gases ideais some e o gás se comporta quase ideal em baixas densidades — essa é a definição física de
.
Passo 3
Agora mostro como obter
a partir da equação de van der Waals (passo a passo). A equação de van der Waals para uma mole (
) é
Definimos o fator de compressibilidade
Substituindo
na definição de
obtemos
Agora expandimos
em série para baixa densidade (isto é, para
) usando a série geométrica:
Substituindo essa expansão em
e agrupando os termos de ordem
, obtemos
Comparando com a forma virial
, concluímos que, para o modelo de van der Waals,
Aqui expliquei o que cada símbolo significa:
é o segundo coeficiente virial (unidade:
),
tem unidade
,
tem unidade
,
é a constante dos gases e
é a temperatura em kelvin.
Passo 4
A temperatura de Boyle
é definida por
. Usando a expressão obtida:
Isolando
temos
Passo 5
Agora calculo numericamente usando as constantes dadas. Para consistência de unidades uso
em unidades compatíveis com
e
:
Calculo o produto
:
Agora
:
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 6
Faço a comparação com o valor experimental
. A diferença relativa é
Ou seja, o valor previsto pela equação de van der Waals é cerca de
maior que o experimental.
Passo 7
Interpretação compacta e dicas para a prova (sem pular passos): a fórmula direta que você pode memorizar/usar é
válida quando
e
são as constantes de van der Waals e
está na mesma unidade. Se na prova der
e
em outras unidades, converta para
e
ou use
apropriado. Lembre-se que o modelo de van der Waals fornece só o termo de segunda ordem correto na aproximação simples; discrepâncias com dados experimentais de
são comuns porque muitos efeitos reais (termos de ordem superior na expansão virial, detalhe da interação molecular, efeitos quânticos em gases diatômicos) não estão totalmente capturados por
e
.
Resposta
Temperatura de Boyle (van der Waals) =
(aprox.
).
Comparação com experimento ( ): diferença ≈
(valor de van der Waals maior).
Comparação com experimento (