Para certo valor de temperatura é possível trabalhar com a lei dos gases perfeitos em maiores faixas de pressão baixas.
a. Como se define essa temperatura?
b. Sabendo que para o gás acetileno as constantes de van der Waals possuem valores iguais a: 4,390 \mathrm{~atm} \mathrm{~L}^{2} \mathrm{~mol}^{-2} e 0,05136 \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1} determine o valor dessa temperatura para o gás.
c. Qual consideração deve ser feita para determinar essa temperatura no item (b)?

Passo 1

Enunciado e dados (o que se pede e o que foi fornecido):
  • (a) Pergunta: “Como se define essa temperatura?”
  • (b) Pergunta: Determinar o valor dessa temperatura para o gás acetileno sabendo que as constantes de van der Waals valem a e b.
  • (c) Pergunta: “Qual consideração deve ser feita para determinar essa temperatura no item (b)?”
  • Dados fornecidos para o acetileno: a = 4{,}390\\ \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}},\qquad b = 0{,}05136\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Não há outras informações explícitas; vamos usar constantes usuais quando necessário (por exemplo a constante dos gases ideais R) conforme a escolha de unidades.

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática e passo a passo do que é a temperatura buscada):
  • Quando trabalhamos com gases reais, uma forma prática de comparar com o gás ideal é usar a expansão virial em potências de 1/V_m (onde V_m é o volume molar). Essa expansão escreve o fator de compressibilidade Z como Z=\frac{P V_m}{R T}=1+\frac{B(T)}{V_m}+\frac{C(T)}{V_m^2}+\cdotsAqui:
    • Z mede o desvio em relação ao gás ideal ( Z=1 para gás ideal).
    • B(T) é o segundo coeficiente virial — depende só da temperatura e representa a primeira correção à idealidade em baixas densidades.
  • A temperatura na qual o gás “se comporta melhor” como ideal em uma faixa maior de pressões baixas é aquela em que a primeira correção desaparece, ou seja: B(T)=0.Essa temperatura chama-se temperatura de Boyle (ou temperatura de Boyle), e tem a interpretação física: para T=T_B o termo de ordem 1/V_m some, então os desvios do gás ideal começam pela ordem 1/V_m^2, o que amplia a faixa de pressões onde Z\approx1.

Passo 3

Derivação do B(T) para o modelo de van der Waals (aula prática para aplicar na prova):
  • A equação de van der Waals, em volume molar V_m, é \left(P+\frac{a}{V_m^{2}}\right)\left(V_m-b\right)=R T.
  • Isolando P, P=\frac{R T}{V_m-b}-\frac{a}{V_m^{2}}.
  • O fator de compressibilidade é Z=\dfrac{P V_m}{R T}. Substituindo P, Z=\frac{V_m}{V_m-b}-\frac{a}{R T\,V_m}.
  • Agora vamos expandir \dfrac{V_m}{V_m-b} em potências de 1/V_m. Note que \frac{V_m}{V_m-b}=\frac{1}{1-\dfrac{b}{V_m}}=1+\frac{b}{V_m}+\frac{b^{2}}{V_m^{2}}+\cdots(é uma série geométrica válida para b/V_m pequeno, i.e., em baixas densidades).
  • Substituindo a expansão em Z e agrupando termos até ordem 1/V_m, Z = 1 + \frac{b}{V_m} - \frac{a}{R T\,V_m} + \text{termos de ordem } \frac{1}{V_m^{2}}.
  • Comparando com a expansão virial, concluímos que o segundo coeficiente virial para van der Waals é B(T)=b-\frac{a}{R T}.

Passo 4

Obtenção da expressão para a temperatura desejada (a temperatura de Boyle) e interpretação:
  • A temperatura de Boyle T_B satisfaz B(T_B)=0. Usando a expressão acima, 0=b-\frac{a}{R T_B}\quad\Longrightarrow\quad T_B=\frac{a}{b R}.
  • Interpretação prática: essa fórmula diz que quanto maior a (forças atrativas) ou menor b (volume excluído), maior será T_B. Em T=T_B as contribuições de primeiro ordem em 1/V_m se cancelam.

Passo 5

Cálculo numérico do T_B para o acetileno (mostrando as contas passo a passo e cuidado com unidades):
  • Devemos usar R compatível com as unidades de a e b. Como a está em \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}} e b em \mathrm{L\;mol^{-1}}, usamos R=0{,}082057366\\ \mathrm{L\;atm\;K^{-1}\;mol^{-1}}.
  • Aplicando T_B=\dfrac{a}{bR}: bR = 0{,}05136\times 0{,}082057366.Vamos calcular esse produto (mostrando a conta aproximada): bR \approx 0{,}05136\cdot 0{,}082057366 \approx 0{,}00421448\\ \mathrm{L^{2}\;atm\;mol^{-2}\;K^{-1}}.
  • Agora dividimos a por esse resultado: T_B=\frac{4{,}390}{0{,}00421448}\\ \mathrm{K}\approx 1041{,}8\\ \mathrm{K}.
  • Arredondando de forma prática para a prova, podemos informar T_B\approx 1{,}04\times 10^{3}\\ \mathrm{K}\quad\text{(ou)}\quad T_B\approx 1042\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Resposta para a parte (c) — considerações necessárias ao determinar T_B no item (b):
  • É necessário usar unidades consistentes para a, b e R. No cálculo acima escolhemos R em \mathrm{L\;atm\;K^{-1}\;mol^{-1}} porque a e b estavam em \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}} e \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Além disso, é preciso lembrar que esse T_B foi obtido usando o modelo de van der Waals e a expansão virial truncada (considerando apenas B(T)). Portanto o valor é aproximado: o cancelamento do termo de ordem 1/V_m melhora o comportamento ideal em pressões baixas, mas desvios ainda podem surgir por termos de ordem superior ( C(T)/V_m^{2}, etc.) ou porque o modelo de van der Waals não é perfeito para todos os gases. Em resumo: o resultado é útil e qualitativo, mas aproximado.

Resposta

(a) Temperatura de Boyle: a temperatura T tal que o segundo coeficiente virial B(T) é zero, i.e., a temperatura em que a primeira correção à lei dos gases ideais desaparece e o gás se comporta mais ideal em baixas pressões.
(b) T_B\approx 1042\\ \mathrm{K}.
(c) Deve-se usar unidades consistentes (mesmo sistema para a, b e R) e notar que o valor é aproximado, pois vem do modelo de van der Waals e da truncatura da expansão virial (ignorando termos de ordem superior).

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