Para certo valor de temperatura é possível trabalhar com a lei dos gases perfeitos em maiores faixas de pressão baixas.
a. Como se define essa temperatura?
b. Sabendo que para o gás acetileno as constantes de van der Waals possuem valores iguais a:
e
determine o valor dessa temperatura para o gás.
c. Qual consideração deve ser feita para determinar essa temperatura no item (b)?
a. Como se define essa temperatura?
b. Sabendo que para o gás acetileno as constantes de van der Waals possuem valores iguais a:
c. Qual consideração deve ser feita para determinar essa temperatura no item (b)?
Passo 1
Enunciado e dados (o que se pede e o que foi fornecido):
- (a) Pergunta: “Como se define essa temperatura?”
- (b) Pergunta: Determinar o valor dessa temperatura para o gás acetileno sabendo que as constantes de van der Waals valem
e . - (c) Pergunta: “Qual consideração deve ser feita para determinar essa temperatura no item (b)?”
- Dados fornecidos para o acetileno:
- Não há outras informações explícitas; vamos usar constantes usuais quando necessário (por exemplo a constante dos gases ideais
) conforme a escolha de unidades.
Passo 2
Conceito necessário (explicação didática e passo a passo do que é a temperatura buscada):
- Quando trabalhamos com gases reais, uma forma prática de comparar com o gás ideal é usar a expansão virial em potências de
(onde é o volume molar). Essa expansão escreve o fator de compressibilidade como Aqui: -
mede o desvio em relação ao gás ideal ( para gás ideal). -
é o segundo coeficiente virial — depende só da temperatura e representa a primeira correção à idealidade em baixas densidades.
-
- A temperatura na qual o gás “se comporta melhor” como ideal em uma faixa maior de pressões baixas é aquela em que a primeira correção desaparece, ou seja:
Essa temperatura chama-se temperatura de Boyle (ou temperatura de Boyle), e tem a interpretação física: para o termo de ordem some, então os desvios do gás ideal começam pela ordem , o que amplia a faixa de pressões onde .
Passo 3
Derivação do
para o modelo de van der Waals (aula prática para aplicar na prova):
- A equação de van der Waals, em volume molar
, é - Isolando
, - O fator de compressibilidade é
. Substituindo , - Agora vamos expandir
em potências de . Note que (é uma série geométrica válida para pequeno, i.e., em baixas densidades). - Substituindo a expansão em
e agrupando termos até ordem , - Comparando com a expansão virial, concluímos que o segundo coeficiente virial para van der Waals é
Passo 4
Obtenção da expressão para a temperatura desejada (a temperatura de Boyle) e interpretação:
- A temperatura de Boyle
satisfaz . Usando a expressão acima, - Interpretação prática: essa fórmula diz que quanto maior
(forças atrativas) ou menor (volume excluído), maior será . Em as contribuições de primeiro ordem em se cancelam.
Passo 5
Cálculo numérico do
para o acetileno (mostrando as contas passo a passo e cuidado com unidades):
- Devemos usar
compatível com as unidades de e . Como está em e em , usamos - Aplicando
: Vamos calcular esse produto (mostrando a conta aproximada): - Agora dividimos
por esse resultado: - Arredondando de forma prática para a prova, podemos informar
Passo 6
Resposta para a parte (c) — considerações necessárias ao determinar
no item (b):
- É necessário usar unidades consistentes para
, e . No cálculo acima escolhemos em porque e estavam em e . - Além disso, é preciso lembrar que esse
foi obtido usando o modelo de van der Waals e a expansão virial truncada (considerando apenas ). Portanto o valor é aproximado: o cancelamento do termo de ordem melhora o comportamento ideal em pressões baixas, mas desvios ainda podem surgir por termos de ordem superior ( , etc.) ou porque o modelo de van der Waals não é perfeito para todos os gases. Em resumo: o resultado é útil e qualitativo, mas aproximado.
Resposta
(a) Temperatura de Boyle: a temperatura
tal que o segundo coeficiente virial
é zero, i.e., a temperatura em que a primeira correção à lei dos gases ideais desaparece e o gás se comporta mais ideal em baixas pressões.
(b)
(c) Deve-se usar unidades consistentes (mesmo sistema para ,
e
) e notar que o valor é aproximado, pois vem do modelo de van der Waals e da truncatura da expansão virial (ignorando termos de ordem superior).
(b)
(c) Deve-se usar unidades consistentes (mesmo sistema para