2.3- Um óleo de densidade igual a 0,85 escoa por uma canalização de 10 cm de diâmetro. A tensão cisalhante na parede da canalização é 32,36 \mathrm{kPa} e o perfil de velocidade é dado por v=2-800 r { }^{2}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}), onde r é a distância radial medida a partir do eixo da tubulação. Qual é a viscosidade cinemática do óleo ?

Passo 1

O enunciado dá um óleo de densidade igual a 0,85 (isto é, densidade específica em relação à água, ou seja \rho=0,85\;\mathrm{g/cm^3}=850\;\mathrm{kg/m^3}), que escoa em tubo de diâmetro D=10\;\mathrm{cm}=0,10\;\mathrm{m}. A tensão de cisalhamento na parede é \tau_w=32,36\;\mathrm{kPa} e o perfil de velocidade é
v(r)=2-800\,r^2\quad(\mathrm{m/s}),
com r medido desde o eixo. Queremos a viscosidade cinemática \nu. Para isso usamos o fluido newtoniano, em que
\tau(r) = \mu\,\frac{dv}{dr},
e \nu=\mu/\rho.

Passo 2

Determinar o raio do tubo:
R=\frac{D}{2}=0,05\;\mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a derivada radial do perfil de velocidade:
\frac{dv}{dr}=\frac{d}{dr}\bigl(2-800\,r^2\bigr)=-1600\,r.

Passo 4

Na parede r=R a tensão de cisalhamento é
\tau_w = \mu\left.\frac{dv}{dr}\right|_{r=R} =\mu\bigl(-1600\,R\bigr).
Tomamos o valor absoluto do gradiente para ter a magnitude:
\tau_w = \mu\,(1600\,R) \quad\Longrightarrow\quad \mu = \frac{\tau_w}{1600\,R}.

Passo 5

Substituindo \tau_w=32{,}36\;\mathrm{kPa}=3{,}236\times10^{4}\;\mathrm{Pa} e R=0,05\;\mathrm{m}:
\mu = \frac{3{,}236\times10^{4}}{1600\times0,05} = \frac{3{,}236\times10^{4}}{80} =404{,}5\;\mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 6

Finalmente, a viscosidade cinemática é
\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{404{,}5}{850} \approx0{,}476\;\mathrm{m^2/s}.

Resposta

A viscosidade cinemática do óleo é aproximadamente
\nu\approx0{,}476\;\mathrm{m^2/s}.

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