2.7-Um corpo cônico gira a uma velocidade constante igual a
rad/s. Uma película de óleo de viscosidade
separa o cone do recipiente que o contem. A espessura da película de óleo é e. Que torque se necessita para manter o movimento? O cone tem uma base de raio igual a R e uma altura H . Suponha uma distribuição de velocidade linear e o fluido Newtoniano.
Passo 1
Temos um cone de raio da base
e altura
girando com velocidade angular constante
dentro de um recipiente, separado por uma película de óleo (fluido Newtoniano de viscosidade
) de espessura
. Queremos o torque
necessário para vencer o atrito viscoso. Para isso, vamos usar a lei de Newton para tensão de cisalhamento e integrar a contribuição de cada anel do cone.
Passo 2
Escolhemos um elemento diferencial na superfície do cone: um anel à distância radial
do eixo, com largura ao longo da geratriz
.
- A velocidade tangencial do cone no anel é
- Como a película tem espessura constante
, o gradiente de velocidade no fluido é . - Pela lei de Newton para fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é
Passo 3
O torque diferencial
gerado pelo cisalhamento nesse anel é a tensão vezes a área do anel vezes o braço de alavanca
.
- A área do anel é
- Logo,
Passo 4
Faltam relacionar
com
. A geratriz total do cone é
e ao longo da geratriz
varia proporcionalmente a
, de modo que
Substituindo em
e integrando de
até
: