2.7-Um corpo cônico gira a uma velocidade constante igual a \omega rad/s. Uma película de óleo de viscosidade \mu separa o cone do recipiente que o contem. A espessura da película de óleo é e. Que torque se necessita para manter o movimento? O cone tem uma base de raio igual a R e uma altura H . Suponha uma distribuição de velocidade linear e o fluido Newtoniano.

Passo 1

Temos um cone de raio da base R e altura H girando com velocidade angular constante \omega dentro de um recipiente, separado por uma película de óleo (fluido Newtoniano de viscosidade \mu) de espessura e. Queremos o torque T necessário para vencer o atrito viscoso. Para isso, vamos usar a lei de Newton para tensão de cisalhamento e integrar a contribuição de cada anel do cone.

Passo 2

Escolhemos um elemento diferencial na superfície do cone: um anel à distância radial r do eixo, com largura ao longo da geratriz ds.
  1. A velocidade tangencial do cone no anel é
U(r)=\omega\,r.
  1. Como a película tem espessura constante e, o gradiente de velocidade no fluido é \displaystyle \frac{dU}{dn}=\frac{U(r)}{e}.
  2. Pela lei de Newton para fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é
\tau = \mu\,\frac{U(r)}{e} = \mu\,\frac{\omega\,r}{e}.

Passo 3

O torque diferencial dT gerado pelo cisalhamento nesse anel é a tensão vezes a área do anel vezes o braço de alavanca r.
  1. A área do anel é \;dA = 2\pi\,r\,ds.
  2. Logo,
dT = \tau\,dA\,r = \mu\,\frac{\omega\,r}{e}\;\bigl(2\pi\,r\,ds\bigr)\;r = \frac{2\pi\,\mu\,\omega}{e}\;r^3\,ds.

Passo 4

Faltam relacionar ds com dr. A geratriz total do cone é
L = \sqrt{R^2 + H^2},
e ao longo da geratriz s varia proporcionalmente a r, de modo que
s = \frac{L}{R}\,r \quad\Longrightarrow\quad ds = \frac{L}{R}\,dr.
Substituindo em dT e integrando de r=0 até r=R:
T = \int_{0}^{R} \frac{2\pi\,\mu\,\omega}{e}\;r^3\;\frac{L}{R}\,dr = \frac{2\pi\,\mu\,\omega\,L}{e\,R} \int_{0}^{R} r^3\,dr = \frac{2\pi\,\mu\,\omega\,L}{e\,R}\;\frac{R^4}{4} = \frac{\pi\,\mu\,\omega\,L\,R^3}{2\,e}.

Resposta

T = \frac{\pi\,\mu\,\omega\,R^3\,\sqrt{R^2 + H^2}}{2\,e}.

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