4.2 Um carrinho de mão é utilizado para transportar um cilindro de ar comprimido. Sabendo que o peso total do carrinho e do cilindro é de 900 N , determine: (a) a força vertical P que deve ser aplicada ao braço do carrinho para manter o sistema na posição ilustrada e (b) a reação correspondente em cada uma das duas rodas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem). O problema pergunta:
- (a) qual a força vertical
aplicada ao braço do carrinho para manter o sistema em equilíbrio; - (b) qual a reação correspondente em cada uma das duas rodas.
Informações fornecidas (retiradas da figura):
- Peso total (força peso):
(vertical para baixo, aplicada no centro da carga). - O eixo do cilindro forma um ângulo de
com a vertical (logo com a horizontal o ângulo é ). - Distância horizontal do ponto de aplicação de
até o centro das rodas (ponto ) = . - Distância horizontal do ponto
(centro das rodas) até a extremidade direita do cilindro = . - A carga (assumida com seu centro de massa) está no centro do cilindro; a figura mostra que a metade do comprimento do cilindro até a extremidade direita é
(ou seja, o centro do cilindro está a ao longo do eixo desde a extremidade direita). - O carrinho tem duas rodas idênticas (logo, se for pedido “reação em cada uma das duas rodas”, presume-se que a reação total vertical no conjunto de rodas divide-se igualmente entre elas).
Observações que ficam claras pela figura:
- Apenas três forças verticais atuam:
(para cima, no braço), a reação vertical total das rodas (para cima), e o peso (para baixo). - Os pontos de aplicação de
e do peso têm distâncias horizontais diferentes em relação ao ponto (ponto de contato das rodas com o solo).
Passo 2
Definir variáveis e estratégia (sem resolver ainda).
- Denotar por
o ponto de contato das rodas com o solo (pivô conveniente para momentos). - Denotar por
o centro de massa da carga (onde atua ). - Denotar por
o ponto onde é aplicada (braço do carrinho). - Forças verticais:
(para cima em ), (para cima em , reação resultante das rodas), e (para baixo em ). - Usar duas equações de equilíbrio estático em duas dimensões:
e - Para aplicar
é preciso saber as distâncias horizontais (braços de alavanca) das linhas de ação de e do peso em relação a . Vamos calcular essas distâncias usando projeção trigonométrica.
Passo 3
Calcular a posição horizontal do centro de massa
em relação a
.
- A extremidade direita do cilindro está a
à direita de . - O centro do cilindro está a
para a esquerda dessa extremidade ao longo do eixo do cilindro. - A componente horizontal (projeção) de
é (porque o eixo do cilindro faz com a horizontal). - Portanto a distância horizontal (assumindo positivo para a esquerda de
) do ponto até é - Calcular
. É conhecido que . - Avaliando numericamente:
- Assim
O sinal negativo indica que fica à esquerda de . Vamos usar o módulo para braços de momento:
Passo 4
Determinar o braço de alavanca de
em relação a
.
- Pela figura, a linha de ação de
está a à esquerda de . - Converter para metros:
Passo 5
Equilíbrio de momentos em
para achar
.
- Tomando momentos positivos como os que causam giro anti-horário (pode-se escolher qualquer convenção consistente). O peso
atua à esquerda de e tende a girar no sentido horário (momento que vamos considerar negativo se tomarmos anti-horário como positivo), enquanto atua também à esquerda e tende a girar anti-horário. Montamos a equação (em módulo): - Substituir os valores em metros:
- Calcular o lado direito:
- Logo
- Arredondando com sentido prático para a prova, pode-se usar
(ou se quiser uma cifra arredondada).
Passo 6
Equilíbrio vertical para achar a reação total
nas rodas e a reação por roda.
- Soma das forças verticais:
- Substituindo
: - Como há duas rodas idênticas, a reação em cada roda é metade de
:
Passo 7
Verificação rápida de consistência (checagem mental).
-
e somam (dentro do arredondamento), como exigido pela . - O momento de
em : . - O momento do peso em
: . - Momentos coincidem, então o equilíbrio de momento também está satisfeito.
Resposta
(a)
(b) reação em cada roda
(b) reação em cada roda