4.2 Um carrinho de mão é utilizado para transportar um cilindro de ar comprimido. Sabendo que o peso total do carrinho e do cilindro é de 900 N , determine: (a) a força vertical P que deve ser aplicada ao braço do carrinho para manter o sistema na posição ilustrada e (b) a reação correspondente em cada uma das duas rodas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem). O problema pergunta:
  • (a) qual a força vertical P aplicada ao braço do carrinho para manter o sistema em equilíbrio;
  • (b) qual a reação correspondente em cada uma das duas rodas.
Informações fornecidas (retiradas da figura):
  • Peso total (força peso): 900\\ \text{N} (vertical para baixo, aplicada no centro da carga).
  • O eixo do cilindro forma um ângulo de 60^\circ com a vertical (logo com a horizontal o ângulo é 30^\circ).
  • Distância horizontal do ponto de aplicação de P até o centro das rodas (ponto B) = 450\\ \text{mm}.
  • Distância horizontal do ponto B (centro das rodas) até a extremidade direita do cilindro = 250\\ \text{mm}.
  • A carga (assumida com seu centro de massa) está no centro do cilindro; a figura mostra que a metade do comprimento do cilindro até a extremidade direita é 550\\ \text{mm} (ou seja, o centro do cilindro está a 550\\ \text{mm} ao longo do eixo desde a extremidade direita).
  • O carrinho tem duas rodas idênticas (logo, se for pedido “reação em cada uma das duas rodas”, presume-se que a reação total vertical no conjunto de rodas divide-se igualmente entre elas).
Observações que ficam claras pela figura:
  • Apenas três forças verticais atuam: P (para cima, no braço), a reação vertical total das rodas R (para cima), e o peso 900\\ \text{N} (para baixo).
  • Os pontos de aplicação de P e do peso têm distâncias horizontais diferentes em relação ao ponto B (ponto de contato das rodas com o solo).

Passo 2

Definir variáveis e estratégia (sem resolver ainda).
  • Denotar por B o ponto de contato das rodas com o solo (pivô conveniente para momentos).
  • Denotar por G o centro de massa da carga (onde atua 900\\ \text{N}).
  • Denotar por A o ponto onde P é aplicada (braço do carrinho).
  • Forças verticais: P (para cima em A), R (para cima em B, reação resultante das rodas), e 900\\ \text{N} (para baixo em G).
  • Usar duas equações de equilíbrio estático em duas dimensões: \sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad P + R - 900 = 0,e \sum M_B = 0 \quad\Rightarrow\quad \text{momento de }P\text{ em relação a }B \; - \;\text{momento do peso em relação a }B \;=\;0.çãçã
  • Para aplicar \sum M_B=0 é preciso saber as distâncias horizontais (braços de alavanca) das linhas de ação de P e do peso 900\\ \text{N} em relação a B. Vamos calcular essas distâncias usando projeção trigonométrica.

Passo 3

Calcular a posição horizontal do centro de massa G em relação a B.
  • A extremidade direita do cilindro está a 250\\ \text{mm} à direita de B.
  • O centro do cilindro está a 550\\ \text{mm} para a esquerda dessa extremidade ao longo do eixo do cilindro.
  • A componente horizontal (projeção) de 550\\ \text{mm} é 550\cos(30^\circ) (porque o eixo do cilindro faz 30^\circ com a horizontal).
  • Portanto a distância horizontal (assumindo positivo para a esquerda de B) do ponto B até G é d_G = 250\\ \text{mm} - 550\cos(30^\circ).
  • Calcular \cos(30^\circ). É conhecido que \cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. 550\cos(30^\circ)=550\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=275\sqrt{3}\\ \text{mm}.
  • Avaliando numericamente: 275\sqrt{3}\approx275\cdot1,73205\approx476,314\\ \text{mm}.
  • Assim d_G=250-476,314\approx -226,314\\ \text{mm}.O sinal negativo indica que G fica \,226,314\\ \text{mm} à esquerda de B. Vamos usar o módulo para braços de momento: |d_G|=226,314\\ \text{mm}=0,226314\\ \text{m}.

Passo 4

Determinar o braço de alavanca de P em relação a B.
  • Pela figura, a linha de ação de P está a 450\\ \text{mm} à esquerda de B.
  • Converter para metros: d_P=450\\ \text{mm}=0,45\\ \text{m}.

Passo 5

Equilíbrio de momentos em B para achar P.
  • Tomando momentos positivos como os que causam giro anti-horário (pode-se escolher qualquer convenção consistente). O peso 900\\ \text{N} atua à esquerda de B e tende a girar no sentido horário (momento que vamos considerar negativo se tomarmos anti-horário como positivo), enquanto P atua também à esquerda e tende a girar anti-horário. Montamos a equação (em módulo): P\cdot d_P = 900\cdot |d_G|.
  • Substituir os valores em metros: P\cdot 0,45 = 900\cdot 0,226314.
  • Calcular o lado direito: 900\cdot 0,226314 \approx 203,6826\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Logo P = \dfrac{900\cdot 0,226314}{0,45}\approx \dfrac{203,6826}{0,45}\approx 452,63\\ \text{N}.
  • Arredondando com sentido prático para a prova, pode-se usar P\approx 452,6\\ \text{N} (ou P\approx 453\\ \text{N} se quiser uma cifra arredondada).

Passo 6

Equilíbrio vertical para achar a reação total R nas rodas e a reação por roda.
  • Soma das forças verticais: P + R - 900 = 0 \quad\Rightarrow\quad R = 900 - P.
  • Substituindo P\approx 452,63\\ \text{N}: R \approx 900 - 452,63 = 447,37\\ \text{N}.
  • Como há duas rodas idênticas, a reação em cada roda é metade de R: R_{\text{por roda}}=\dfrac{R}{2}\approx \dfrac{447,37}{2}\approx 223,69\\ \text{N}.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (checagem mental).
  • P\approx 452,6\\ \text{N} e R\approx 447,4\\ \text{N} somam 900\\ \text{N} (dentro do arredondamento), como exigido pela \sum F_y=0.
  • O momento de P em B: 0,45\cdot452,63\approx203,68\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • O momento do peso em B: 0,226314\cdot900\approx203,68\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Momentos coincidem, então o equilíbrio de momento também está satisfeito.

Resposta

(a) P\approx 452,6\\ \text{N}
(b) reação em cada roda R_{\text{por roda}}\approx 223,7\\ \text{N}

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