3.12 Determine a equação da elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados e que passa nos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma elipse de eixos paralelos aos eixos coordenados que passa por
,
,
e
.
Uma elipse com centro em e semi-eixos
e
paralelos a
e
satisfaz
Uma elipse com centro em
Precisamos determinar
,
,
e
.
Passo 2
Para cada ponto
da elipse vale
Definindo
essas quatro condições viram
Passo 3
Subtraindo a equação que corresponde a
da equação que corresponde a
, eliminamos o termo constante e obtemos
Fazendo o mesmo para os pares
e
, e simplificando, obtemos três relações lineares em
,
,
e
. Dividindo tudo por
e chamando
essas relações ficam:
Passo 4
Das equações (ii), (iii) e (iv) usando
, fazemos operações para isolar
e
. Subtraindo (iii) de (ii) e (iv) de (ii) encontramos
Passo 5
Com
,
e
, voltamos a uma condição inicial, por exemplo para
:
Como
,
Logo
e
.