3.12 Determine a equação da elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados e que passa nos pontos A(-6,4), B(-8,1), C(2,-4) e D(8,-3).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse de eixos paralelos aos eixos coordenados que passa por A(-6,4), B(-8,1), C(2,-4) e D(8,-3).
Uma elipse com centro em (h,k) e semi-eixos a e b paralelos a x e y satisfaz
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 ;=;1
Precisamos determinar h, k, a^2 e b^2.

Passo 2

Para cada ponto (xi,yi) da elipse vale
(xi-h)^2a^2 + (yi-k)^2b^2 = 1
Definindo
A=1a^2, B=1b^2,
essas quatro condições viram
A,(xi-h)^2 ;+; B,(yi-k)^2 ;=;1, i=1,2,3,4

Passo 3

Subtraindo a equação que corresponde a A(-6,4) da equação que corresponde a B(-8,1), eliminamos o termo constante e obtemos
Al[(-6-h)^2-(-8-h)^2r] ;+; Bl[(4-k)^2-(1-k)^2r] =0
Fazendo o mesmo para os pares (A,C) e (A,D), e simplificando, obtemos três relações lineares em A, B, h e k. Dividindo tudo por A e chamando
r= BA,
essas relações ficam:
(i) r=h+2k,
(ii) 4(h+7)=r,(15-6k),
(iii) 4(h-1)=r,(2k-1),
(iv) 20(h+3)=r,(15+10k)

Passo 4

Das equações (ii), (iii) e (iv) usando r=(h+2)/k, fazemos operações para isolar h e k. Subtraindo (iii) de (ii) e (iv) de (ii) encontramos
k=1, h=2, r=4

Passo 5

Com h=2, k=1 e r=B/A=4, voltamos a uma condição inicial, por exemplo para A(-6,4):
A(-6-2)^2 ;+; B(4-1)^2 =1 Longrightarrow 64A + 9B =1
Como B=4A,
64A + 9cdot4A =100A =1 ;Longrightarrow; A=1100, ;B=125
Logo a^2=100 e b^2=25.

Resposta

(x-2)^2100 ;+;(y-1)^225 ;=;1

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