Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos e assíntotas) e esboce o gráfico da hipérbole caracterizada por:
Focos F1(5,0), F2(-5,0) e diferença dos raios focais igual a 6 ;

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole cujos focos são F1(5,0) e F2(-5,0) e cuja diferença dos raios focais vale 6. O conteúdo envolve a definição de hipérbole como o lugar geométrico dos pontos que satisfazem lvert d(P,F1) - d(P,F2)rvert = 2a e a forma padrão de sua equação, além de calcular os parâmetros a, b e c.

Passo 2

O centro da hipérbole é o ponto médio dos focos. Como F1=(5,0) e F2=(-5,0), o centro é
(0,0)

Passo 3

Pela definição da hipérbole, a diferença dos raios focais é 2a. Como foi dado que essa diferença vale 6, temos
2a = 6 Longrightarrow a = 3

Passo 4

A distância do centro a cada foco é c. Como os focos estão em (pm5,0), segue
c = 5

Passo 5

Para hipérbole, relaciona-se a, b e c por
c^2 = a^2 + b^2
Logo,
b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16 Longrightarrow b = 4

Passo 6

Como os focos estão sobre o eixo x, a forma padrão da equação é
x^2a^2 ;-;y^2b^2 ;=;1
Substituindo a^2=9 e b^2=16, obtemos
x^29 ;-;y^216 ;=;1

Passo 7

Os elementos principais ficam assim:
Centro
(0,0)
Vértices
(pm a,0) = (pm3,0)
Focos
(pm c,0) = (pm5,0)
Excentricidade
e = ca = 53
Eixos
Transversal sobre o eixo x (ramos abrindo para esquerda e direita)
Conjugado sobre o eixo y
Assíntotas
A equação das assíntotas é
y = pm ba,x = pm 43,x

Passo 8

O esboço do gráfico apresenta dois ramos simétricos em relação aos eixos, cruzando o eixo x nos vértices (pm3,0) e aproximando-se das retas y=pm43x à medida que lvert xrverttoinfty.

Resposta

Equação
x^29 ;-;y^216 ;=;1
Centro
(0,0)
Vértices
(pm3,0)
Focos
(pm5,0)
Excentricidade
tfrac53
Assíntotas
y=pmtfrac43x
Eixos
Transversal ao longo do eixo x; conjugado ao longo do eixo y
Esboço
Dois ramos abertos para direita e esquerda, cruzando em (pm3,0) e aproximando-se de y=pmtfrac43x.

Exercícios relacionados