Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos e assíntotas) e esboce o gráfico da hipérbole caracterizada por:
Focos
e diferença dos raios focais igual a 6 ;
Focos
Passo 1
O enunciado pede a hipérbole cujos focos são
e
e cuja diferença dos raios focais vale
. O conteúdo envolve a definição de hipérbole como o lugar geométrico dos pontos que satisfazem
e a forma padrão de sua equação, além de calcular os parâmetros
,
e
.
Passo 2
O centro da hipérbole é o ponto médio dos focos. Como
e
, o centro é
Passo 3
Pela definição da hipérbole, a diferença dos raios focais é
. Como foi dado que essa diferença vale
, temos
Passo 4
A distância do centro a cada foco é
. Como os focos estão em
, segue
Passo 5
Para hipérbole, relaciona-se
,
e
por
Logo,
Passo 6
Como os focos estão sobre o eixo
, a forma padrão da equação é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 7
Os elementos principais ficam assim:
Centro
Vértices
Focos
Excentricidade
Eixos
Transversal sobre o eixo (ramos abrindo para esquerda e direita)
Conjugado sobre o eixo
Transversal sobre o eixo
Conjugado sobre o eixo
Assíntotas
A equação das assíntotas é
A equação das assíntotas é
Passo 8
O esboço do gráfico apresenta dois ramos simétricos em relação aos eixos, cruzando o eixo
nos vértices
e aproximando-se das retas
à medida que
.
Resposta
Equação
Centro
Vértices
Focos
Excentricidade
Assíntotas
Eixos
Transversal ao longo do eixo ; conjugado ao longo do eixo
Transversal ao longo do eixo
Esboço
Dois ramos abertos para direita e esquerda, cruzando em e aproximando-se de
.
Dois ramos abertos para direita e esquerda, cruzando em