Obtenha a equação e esboce o gráfico da circunferência caracterizada por:
Circunscrita ao triângulo formado pelas retas x+y=8,2 x+y=14 e 3 x+y=22;

Passo 1

O enunciado pede a circunferência circunscrita ao triângulo formado pelas retas
,x+y=8,;2x+y=14 e 3x+y=22. Para isso vamos:
  1. Encontrar os vértices do triângulo resolvendo os sistemas de interseção.
  2. Determinar as mediatrizes de dois lados e achar seu ponto de interseção (o circuncentro).
  3. Calcular o raio como distância do circuncentro a um dos vértices.
  4. Escrever a equação padrão da circunferência e esboçar seu gráfico.

Passo 2

Para obter os vértices, resolvemos os três sistemas:
x+y=8, 2x+y=14 Rightarrow x=6,;y=2Rightarrow A=(6,2)
2x+y=14, 3x+y=22 Rightarrow x=8,;y=-2Rightarrow B=(8,-2)
x+y=8, 3x+y=22 Rightarrow x=7,;y=1Rightarrow C=(7,1)

Passo 3

Segmento AB:
Ponto médio MAB=(7,0).
Inclinação mAB=-2-28-6=-2.
Mediatriz de AB tem inclinação m1=-tfrac1mAB=tfrac12 e passa por MAB, logo
y-0=tfrac12(x-7) Longrightarrow y=tfrac12x-tfrac72

Passo 4

Segmento AC:
Ponto médio MAC=(6,5,1,5).
Inclinação mAC=1-27-6=-1.
Mediatriz de AC tem inclinação m2=-tfrac1mAC=1 e passa por MAC, logo
y-1,5=1,(x-6,5) Longrightarrow y=x-5

Passo 5

O circuncentro
ou seja, (O=(3,-2)].

Passo 6

O raio r é a distância de O a um vértice (por exemplo B):
r=raiz(8-3)^2+(-2+2)^2=raiz25=5
A equação padrão de uma circunferência de centro (x0,y0) e raio r é
(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2
Aplicando x0=3, y0=-2 e r=5, obtemos a circunferência buscada.

Resposta

(x-3)^2+(y+2)^2=25
O gráfico é uma circunferência de centro em (3,-2) e raio 5. Ela passa pelos pontos A=(6,2), B=(8,-2) e C=(7,1), e se esboça marcando o centro, traçando raios de comprimento 5 e desenhando o círculo que passa por esses vértices.

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