Obtenha a equação e esboce o gráfico da circunferência caracterizada por:
Passa pelos pontos A(1,-2), B(1,1) e C(2,3);

Passo 1

O enunciado pede a equação e o esboço da circunferência que passa pelos pontos A(1,-2), B(1,1) e C(2,3).
Conteúdo: geometria analítica de circunferência. Para achar a circunferência usaremos bissetrizes perpendiculares a dois segmentos formados pelos pontos dados; a interseção dessas bissetrizes será o centro da circunferência.

Passo 2

Escolhemos os segmentos AB e BC.
  1. Segmento AB: A(1,-2), B(1,1).
    • Ponto médio
    MAB = l(1,,-0,5r)
    • Reta AB é vertical ( x=1), logo sua bissetriz perpendicular é horizontal:
    y = -0,5
  2. Segmento BC: B(1,1), C(2,3).
    • Ponto médio
    MBC = l(1,5,;2r)
    • Coeficiente angular de BC:
    mBC = 3-12-1 = 2,
    logo a bissetriz perpendicular tem coeficiente
    mperp = -tfrac12
    e equação passando por MBC:
    y - 2 = -tfrac12,(x - 1,5) Longrightarrow y = -tfrac12,x + 2,75

Passo 3

Interseção das bissetrizes dá o centro O.
Resolve-se
y = -0,5, y = -tfrac12,x + 2,75 ;Longrightarrow; -0,5 = -tfrac12,x + 2,75 ;Longrightarrow; x = 6,5
Logo
O = l(6,5,,-0,5r)

Passo 4

Raio R é a distância de O a qualquer dos três pontos, por exemplo a A(1,-2):
R^2 = (6,5 - 1)^2 +(-0,5 + 2)^2 = 5,5^2 + 1,5^2 = 30,25 + 2,25 = 32,5
Portanto R = raiz32,5

Passo 5

Equação na forma padrão:
(x - 6,5)^2 + (y + 0,5)^2 = 32,5
Expansão para a forma geral x^2+y^2+Dx+Ey+F=0:
x^2 -13x +42,25 + y^2 + y +0,25 = 32,5 ;Longrightarrow; x^2 + y^2 -13x + y +10 = 0

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Centro em O(6,5,-0,5).
  • Raio aproximadamente 5,7.
  • Passa pelos pontos A(1,-2), B(1,1), C(2,3).
No plano cartesiano, marque o centro à direita e desenhe uma circunferência de raio 5,7 que intercepta exatamente os três pontos dados.

Resposta

Equação da circunferência em forma padrão:
(x - 6,5)^2 + (y + 0,5)^2 = 32,5
Equação na forma geral:
x^2 + y^2 -13x + y +10 = 0

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