12-Determine uma relação entre x e y, independente de t, sabendo que: x=5 \cdot \operatorname{tg} t e y=3 \cdot \operatorname{cossec} t

Passo 1

O enunciado dá as parametrizações
x = 5\,\tan t
e
y = 3\,\csc t
e pede uma relação entre x e y sem o parâmetro t. Vamos usar identidades trigonométricas para eliminar t.

Passo 2

Da definição de tangente e cossecante temos
\tan t = \frac{x}{5},
\csc t = \frac{y}{3}\quad\Longrightarrow\quad \sin t = \frac{3}{y}.

Passo 3

Usando \tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t} isolamos \cos t:
\cos t = \frac{\sin t}{\tan t} = \frac{\tfrac{3}{y}}{\tfrac{x}{5}} = \frac{15}{x\,y}.

Passo 4

Aplicamos a identidade fundamental
\sin^2 t + \cos^2 t = 1,
substituindo \sin t = 3/y e \cos t = 15/(x y):
\Bigl(\frac{3}{y}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{15}{x\,y}\Bigr)^2 = 1.

Passo 5

Simplificando:
\frac{9}{y^2} + \frac{225}{x^2y^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9x^2 + 225}{x^2y^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2y^2 = 9x^2 + 225.

Resposta

x^2y^2 = 9\,(x^2 + 25).

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