Considere a função f(x)=x^{2}+\frac{2}{x}, definida para x \neq 0. Determine suas assíntotas (caso existam), intervalos de crescimento e decrescimento, poutos críticos, máximos e mínimos locais (caso existam), analise a concavidade e encontre pontos de inflexão (caso existam) e, por fin, esboce o gráfico da função, destacando os elementos anteriormente obtidos.

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da função
f(x)=x^{2}+\frac{2}{x},\quad x\neq0,
incluindo assíntotas, monotonia, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e um esboço do gráfico. Para isso vamos calcular as derivadas primeira e segunda, fazer limites em x\to0^\pm e em x\to\pm\infty, e em seguida analisar sinais e zeros dessas derivadas.

Passo 2

Para achar assíntotas, examinamos limites:
  1. Vertical em x=0.
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\Bigl(x^2+\frac{2}{x}\Bigr)=+\infty, \quad \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty.
Logo há assíntota vertical x=0.
  1. Horizontal ou oblíqua em \pm\infty.
    Como f(x)=x^2+2/x, para |x|\to\infty temos
f(x)-x^2=\frac{2}{x}\to0,
ou seja, a curva se aproxima da parábola y=x^2. Não há assíntota linear (horizontal ou oblíqua), mas existe uma assíntota polinomial de grau 2 dada por
y=x^2.

Passo 3

Derivada primeira e monotonia:
f'(x)=2x-\frac{2}{x^2} =2\Bigl(x-\frac1{x^2}\Bigr) =2\,\frac{x^3-1}{x^2}.
O único ponto crítico interno surge de f'(x)=0, i.e.\ x^3-1=0, logo x=1. Como o denominador x^2>0 para todo x\neq0, o sinal de f' é o de x^3-1. Então:
  • Em x<1 temos x^3-1<0 \implies f'<0 (decrescente).
  • Em x>1 temos x^3-1>0 \implies f'>0 (crescente).
Portanto f é decrescente em (-\infty,0) e em (0,1), e crescente em (1,\infty). Em x=1 há mudança de decrescente para crescente, indicando um mínimo local em
f(1)=1^2+\frac{2}{1}=3.

Passo 4

Derivada segunda e concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(2x-\tfrac{2}{x^2}\Bigr) =2 + \frac{4}{x^3} =2\,\frac{x^3+2}{x^3}.
Anulando f''(x)=0 x^3+2=0, ou seja
x=-\sqrt[3]{2}.
Analisando o sinal de f'':
  • Para x>0, x^3>0 e x^3+2>0 \implies f''>0: concavidade para cima em (0,\infty).
  • Para -\sqrt[3]{2}<x<0, x^3<0 mas x^3+2>0 \implies numerador positivo e denominador negativo \implies f''<0: concavidade para baixo.
  • Para x<-\sqrt[3]{2}, x^3+2<0 e x^3<0 \implies f''>0: concavidade para cima.
Em x=-\sqrt[3]{2} ocorre troca de concavidade, logo ponto de inflexão. Seu valor é
f\bigl(-\sqrt[3]{2}\bigr) =\bigl(-\sqrt[3]{2}\bigr)^2+\frac{2}{-\sqrt[3]{2}} =2^{2/3}-2^{2/3}=0.
Então o ponto de inflexão é \bigl(-\sqrt[3]{2},0\bigr).

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • A curva não existe em x=0 (assíntota vertical).
  • Para x<-\sqrt[3]{2}: decrescente, concavidade para cima, f\to+\infty em x\to-\infty; cruza o eixo x em \bigl(-\sqrt[3]{2},0\bigr).
  • Em -\sqrt[3]{2}<x<0: continua decrescente, agora concavidade para baixo, e f\to-\infty ao aproximar 0^-.
  • Para x>0: f\to+\infty em x\to0^+; a seguir decresce com concavidade para cima até o mínimo local em (1,3), depois cresce indefinidamente para +\infty.
  • A assíntota polinomial y=x^2 acompanha o ramo para \pm\infty.
Destaque no gráfico dos pontos \bigl(-\sqrt[3]{2},0\bigr) (inflexão), (1,3) (mínimo local), da reta vertical x=0 e da parábola y=x^2.

Resposta

Assíntotas:
\text{vertical: }x=0,\quad \text{polinomial (grau 2): }y=x^2.
Monotonia:
f\text{ decrescente em }(-\infty,0)\cup(0,1),\quad f\text{ crescente em }(1,\infty).
Extremo local:
\min\text{ em }x=1,\;f(1)=3.
Concavidade:
\text{cima em }(-\infty,-\sqrt[3]{2})\cup(0,\infty),\quad \text{baixo em }(-\sqrt[3]{2},0).
Ponto de inflexão:
\bigl(-\sqrt[3]{2},0\bigr).

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