Considere a função
, definida para
. Determine suas assíntotas (caso existam), intervalos de crescimento e decrescimento, poutos críticos, máximos e mínimos locais (caso existam), analise a concavidade e encontre pontos de inflexão (caso existam) e, por fin, esboce o gráfico da função, destacando os elementos anteriormente obtidos.
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo da função
incluindo assíntotas, monotonia, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e um esboço do gráfico. Para isso vamos calcular as derivadas primeira e segunda, fazer limites em
e em
, e em seguida analisar sinais e zeros dessas derivadas.
Passo 2
Para achar assíntotas, examinamos limites:
- Vertical em
.
Logo há assíntota vertical
.
- Horizontal ou oblíqua em
.
Como, para temos
ou seja, a curva se aproxima da parábola
. Não há assíntota linear (horizontal ou oblíqua), mas existe uma assíntota polinomial de grau 2 dada por
Passo 3
Derivada primeira e monotonia:
O único ponto crítico interno surge de
, i.e.\
, logo
Como o denominador
para todo
, o sinal de
é o de
. Então:
- Em
temos (decrescente). - Em
temos (crescente).
Portanto
é decrescente em
e em
, e crescente em
. Em
há mudança de decrescente para crescente, indicando um mínimo local em
Passo 4
Derivada segunda e concavidade:
Anulando
dá
, ou seja
Analisando o sinal de
:
- Para
, e : concavidade para cima em . - Para
, mas numerador positivo e denominador negativo : concavidade para baixo. - Para
, e : concavidade para cima.
Em
ocorre troca de concavidade, logo ponto de inflexão. Seu valor é
Então o ponto de inflexão é
.
Passo 5
Esboço do gráfico:
- A curva não existe em
(assíntota vertical). - Para
: decrescente, concavidade para cima, em ; cruza o eixo em . - Em
: continua decrescente, agora concavidade para baixo, e ao aproximar . - Para
: em ; a seguir decresce com concavidade para cima até o mínimo local em , depois cresce indefinidamente para . - A assíntota polinomial
acompanha o ramo para .
Destaque no gráfico dos pontos
(inflexão),
(mínimo local), da reta vertical
e da parábola
.
Resposta
Assíntotas:
Monotonia:
Extremo local:
Concavidade:
Ponto de inflexão: