Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int x^{2} \mathrm{e}^{x^{3}-4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}e^{x^{3}-4}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição. Vamos reconhecer que a expressão x^{3}-4 aparece dentro do exponencial e sua derivada é proporcional a x^{2}, o que sugere usar u=x^{3}-4.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{3}-4.
Então, derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral original em termos de u:
\int x^{2}e^{x^{3}-4}\,dx = \int e^{u}\,\bigl(x^{2}\,dx\bigr) = \int e^{u}\,\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Logo,
\frac{1}{3}\int e^{u}\,du = \frac{1}{3}e^{u} + C.

Resposta

\frac{1}{3}e^{x^{3}-4} + C

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