5- Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das seguintes funções: f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=|3 \cdot \operatorname{sen} x|. f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=3 \cdot \operatorname{sen} 4 x. f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=-2+\operatorname{sen} x. f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=-1+\operatorname{sen} 2 x. f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=1+3 \cdot \operatorname{sen} \frac{x}{2}. f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\operatorname{sen}\left(2 x-\frac{\pi}{3}\right). f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=1+2 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right).
Passo 1
O enunciado pede, para cada função trigonométrica dada, que a gente determine
o períodoT,
a imagem (intervalo de valores que a função assume), e
desenhe o gráfico de um período completo.
Conteúdo principal: funções da forma
f(x) = A\;\sin(Bx + C) + D
ou envolvendo valor absoluto.
Sabemos que, para g(x)=\sin(Bx+C), o período básico é
T = \frac{2\pi}{|B|},
e que, se houver valor absoluto g(x)=|\sin(Bx)|, o período fica T=\pi/|B| porque o seno negativo é refletido.
A amplitude de A\sin(\cdot)+D é |A| e a imagem é
[D - |A|,\;D + |A|].
Passo 2
Função f(x)=\bigl|3\sin x\bigr|.
– A parte interna é \sin x (período 2\pi), mas o valor absoluto faz o período cair para
T = \pi.
– A amplitude antes do valor absoluto é 3, mas |3\sin x| varia entre 0 e 3. Portanto a imagem é
[0,\,3].
– Gráfico em [0,\pi]: é um “meio sino” repetido depois. Pontos notáveis: (0,0),\;
(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{3}{2}),\;
(\tfrac{\pi}{2},3),\;
(\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{3}{2}),\;
(\pi,0).
Passo 3
Função f(x)=3\sin(4x).
– O fator B=4 dá período
T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.
– Amplitude |A|=3, sem deslocamento vertical, imagem
[-3,\,3].
– Um período em \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]: (0,0),\;
(\tfrac{\pi}{8},3),\;
(\tfrac{\pi}{4},0),\;
(\tfrac{3\pi}{8},-3),\;
(\tfrac{\pi}{2},0).
Passo 4
Função f(x)=-2 + \sin x.
– Aqui B=1 ⇒ período
T = 2\pi.
– Amplitude |A|=1, deslocamento D=-2, imagem
[-2-1,\,-2+1] = [-3,\,-1].
– Um período em [0,2\pi]: (0,-2),\;
(\tfrac{\pi}{2},-1),\;
(\pi,-2),\;
(\tfrac{3\pi}{2},-3),\;
(2\pi,-2).
Passo 5
Função f(x)=-1 + \sin(2x).
– Fator B=2 ⇒ período
T = \frac{2\pi}{2} = \pi.
– Amplitude 1, deslocamento -1, imagem
[-1-1,\,-1+1] = [-2,\,0].
– Um período em [0,\pi]: (0,-1),\;
(\tfrac{\pi}{4},0),\;
(\tfrac{\pi}{2},-1),\;
(\tfrac{3\pi}{4},-2),\;
(\pi,-1).
Passo 6
Função f(x)=1 + 3\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
– Fator B=\tfrac12 ⇒ período
T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi.
– Amplitude 3, deslocamento +1, imagem
[1-3,\;1+3] = [-2,\,4].
– Um período em [0,4\pi]: (0,1),\;
(\pi,4),\;
(2\pi,1),\;
(3\pi,-2),\;
(4\pi,1).
Passo 7
Função f(x)=\sin\!\bigl(2x - \tfrac{\pi}{3}\bigr).
– Fator B=2 ⇒ período
T = \frac{2\pi}{2} = \pi.
– Amplitude 1, sem deslocamento vertical, imagem
[-1,\,1].
– Há uma fase C=-\tfrac{\pi}{3}, isto é, desloca pra a direita em \tfrac{\pi}{6} porque \,2x-\tfrac{\pi}{3}=0\implies x=\tfrac{\pi}{6}.
– Um período em \bigl[\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{\pi}{6}+\pi\bigr]: (\tfrac{\pi}{6},0),\;
(\tfrac{\pi}{3},1),\;
(\tfrac{\pi}{2},0),\;
(\tfrac{2\pi}{3},-1),\;
(\tfrac{7\pi}{6},0).
– A fase C=-\tfrac{\pi}{6} corresponde a deslocar pra a direita em x tal que \tfrac{x}{2}-\tfrac{\pi}{6}=0\implies x=\tfrac{\pi}{3}.
– Um período em \bigl[\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{\pi}{3}+4\pi\bigr]: (\tfrac{\pi}{3},1),\;
(\tfrac{4\pi}{3},3),\;
(\tfrac{7\pi}{3},1),\;
(\tfrac{10\pi}{3},-1),\;
(\tfrac{13\pi}{3},1).