5- Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das seguintes funções:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=|3 \cdot \operatorname{sen} x|.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=3 \cdot \operatorname{sen} 4 x.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=-2+\operatorname{sen} x.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=-1+\operatorname{sen} 2 x.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=1+3 \cdot \operatorname{sen} \frac{x}{2}.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\operatorname{sen}\left(2 x-\frac{\pi}{3}\right).
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=1+2 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right).

Passo 1

O enunciado pede, para cada função trigonométrica dada, que a gente determine
  1. o período T,
  2. a imagem (intervalo de valores que a função assume), e
  3. desenhe o gráfico de um período completo.
Conteúdo principal: funções da forma
f(x) = A\;\sin(Bx + C) + D
ou envolvendo valor absoluto.
Sabemos que, para g(x)=\sin(Bx+C), o período básico é
T = \frac{2\pi}{|B|},
e que, se houver valor absoluto g(x)=|\sin(Bx)|, o período fica T=\pi/|B| porque o seno negativo é refletido.
A amplitude de A\sin(\cdot)+D é |A| e a imagem é
[D - |A|,\;D + |A|].

Passo 2

Função f(x)=\bigl|3\sin x\bigr|.
– A parte interna é \sin x (período 2\pi), mas o valor absoluto faz o período cair para
T = \pi.
– A amplitude antes do valor absoluto é 3, mas |3\sin x| varia entre 0 e 3. Portanto a imagem é
[0,\,3].
– Gráfico em [0,\pi]: é um “meio sino” repetido depois. Pontos notáveis: (0,0),\; (\tfrac{\pi}{6},\tfrac{3}{2}),\; (\tfrac{\pi}{2},3),\; (\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{3}{2}),\; (\pi,0).

Passo 3

Função f(x)=3\sin(4x).
– O fator B=4 dá período
T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.
– Amplitude |A|=3, sem deslocamento vertical, imagem
[-3,\,3].
– Um período em \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]: (0,0),\; (\tfrac{\pi}{8},3),\; (\tfrac{\pi}{4},0),\; (\tfrac{3\pi}{8},-3),\; (\tfrac{\pi}{2},0).

Passo 4

Função f(x)=-2 + \sin x.
– Aqui B=1 ⇒ período
T = 2\pi.
– Amplitude |A|=1, deslocamento D=-2, imagem
[-2-1,\,-2+1] = [-3,\,-1].
– Um período em [0,2\pi]: (0,-2),\; (\tfrac{\pi}{2},-1),\; (\pi,-2),\; (\tfrac{3\pi}{2},-3),\; (2\pi,-2).

Passo 5

Função f(x)=-1 + \sin(2x).
– Fator B=2 ⇒ período
T = \frac{2\pi}{2} = \pi.
– Amplitude 1, deslocamento -1, imagem
[-1-1,\,-1+1] = [-2,\,0].
– Um período em [0,\pi]: (0,-1),\; (\tfrac{\pi}{4},0),\; (\tfrac{\pi}{2},-1),\; (\tfrac{3\pi}{4},-2),\; (\pi,-1).

Passo 6

Função f(x)=1 + 3\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
– Fator B=\tfrac12 ⇒ período
T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi.
– Amplitude 3, deslocamento +1, imagem
[1-3,\;1+3] = [-2,\,4].
– Um período em [0,4\pi]: (0,1),\; (\pi,4),\; (2\pi,1),\; (3\pi,-2),\; (4\pi,1).

Passo 7

Função f(x)=\sin\!\bigl(2x - \tfrac{\pi}{3}\bigr).
– Fator B=2 ⇒ período
T = \frac{2\pi}{2} = \pi.
– Amplitude 1, sem deslocamento vertical, imagem
[-1,\,1].
– Há uma fase C=-\tfrac{\pi}{3}, isto é, desloca pra a direita em \tfrac{\pi}{6} porque \,2x-\tfrac{\pi}{3}=0\implies x=\tfrac{\pi}{6}.
– Um período em \bigl[\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{\pi}{6}+\pi\bigr]: (\tfrac{\pi}{6},0),\; (\tfrac{\pi}{3},1),\; (\tfrac{\pi}{2},0),\; (\tfrac{2\pi}{3},-1),\; (\tfrac{7\pi}{6},0).

Passo 8

Função f(x)=1 + 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2} - \tfrac{\pi}{6}\bigr).
– Fator B=\tfrac12 ⇒ período
T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi.
– Amplitude 2, deslocamento +1, imagem
[1-2,\;1+2] = [-1,\,3].
– A fase C=-\tfrac{\pi}{6} corresponde a deslocar pra a direita em x tal que \tfrac{x}{2}-\tfrac{\pi}{6}=0\implies x=\tfrac{\pi}{3}.
– Um período em \bigl[\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{\pi}{3}+4\pi\bigr]: (\tfrac{\pi}{3},1),\; (\tfrac{4\pi}{3},3),\; (\tfrac{7\pi}{3},1),\; (\tfrac{10\pi}{3},-1),\; (\tfrac{13\pi}{3},1).

Resposta

Para cada função, temos:
  1. f(x)=|3\sin x|:
    T=\pi,\quad \mathrm{Im}=[0,3]. 2. f(x)=3\sin(4x):
    T=\tfrac{\pi}{2},\quad \mathrm{Im}=[-3,3]. 3. f(x)=-2+\sin x:
    T=2\pi,\quad \mathrm{Im}=[-3,-1]. 4. f(x)=-1+\sin(2x):
    T=\pi,\quad \mathrm{Im}=[-2,0]. 5. f(x)=1+3\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr):
    T=4\pi,\quad \mathrm{Im}=[-2,4]. 6. f(x)=\sin\!\bigl(2x-\tfrac{\pi}{3}\bigr):
    T=\pi,\quad \mathrm{Im}=[-1,1]. 7. f(x)=1+2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}-\tfrac{\pi}{6}\bigr):
    T=4\pi,\quad \mathrm{Im}=[-1,3].

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