A 0.12-mm-diameter dust particle whose density is 2.1 g / cm^3 is observed to be suspended in the air at 1 atm and 20^circ C at a fixed point. Estimate the updraft velocity of air motion at that location. Assume Stokes law to be applicable. Is this a valid assumption?

Passo 1

Beleza, então o problema diz que uma partícula de poeira com diâmetro de 0,12 mm e densidade de 2,1 g/cm³ fica parada no ar (1 atm, 20 °C). A tarefa é estimar a velocidade de subida do ar (a “updraft”) que segura essa partícula no lugar, usando a Lei de Stokes. Vamos precisar:
  • Converter diâmetro e densidades pra SI (m, kg/m³).
  • Dados do ar a 20 °C: viscosidade dinâmica μ e densidade ρ_ar.
  • Fórmula de Stokes para velocidade de equilíbrio (quando força de empuxo + arrasto = peso).

Passo 2

Primeiro, converte tudo:
  • Diâmetro d = 0,12 mm = 1,2×10⁻⁴ m
  • Densidade da partícula ρ_p = 2,1 g/cm³ = 2100 kg/m³
  • Densidade do ar ρ_ar ≈ 1,2 kg/m³
  • Viscosidade do ar μ ≈ 1,81×10⁻⁵ Pa·s
  • g = 9,81 m/s²

Passo 3

A Lei de Stokes diz que, no regime laminar e partícula esférica, a velocidade de assentamento (aqui igual à updraft que vai segurá-la) é:
v = g,(rhop - rhoar),d^218,mu

Passo 4

Basta pôr os números:
v = 9,81,(2100 - 1,2),(1,2times10^-4)^218,(1,81times10^-5) approx 0,9;m/s
Agora, para checar se Stokes vale, calculamos o número de Reynolds da partícula:
Re = rhoar,v,dmu approx 1,2times0,9times1,2times10^-41,81times10^-5 sim 7
Como Re ≫ 1, o fluxo não está totalmente na faixa onde a Lei de Stokes é rigorosa (Stokes pede Re < 1).

Resposta

A “updraft” necessária é de cerca de 0,9 m/s. A aplicação estrita da Lei de Stokes não é totalmente válida aqui, pois o número de Reynolds (~7) está acima do limite Re < 1.

Exercícios relacionados