Exemplo: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 horas. Cada peça tem um custo de 10,0 unidades monetárias (u.m) e se durar menos de 200 horas, existe um custo adicional de 8.0 u.m.
(a) Qual é a probabilidade de uma durar mais de 150 horas?
(b) Determinar o custo esperado.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida X de um fusível é uma variável aleatória com distribuição exponencial de tempo médio 100 horas, ou seja,
\mathbb{E}[X]=100\text{ h}.
Da teoria da exponencial sabemos que o parâmetro de taxa é
\lambda = \frac{1}{\mathbb{E}[X]} = \frac{1}{100}\,\text{h}^{-1}.
Cada fusível custa 10{,}0 u.m. e, se X<200 h, incorre-se em um custo adicional de 8{,}0 u.m. Vamos calcular:
(a) \Pr(X>150).
(b) Custo esperado C.

Passo 2

Para uma exponencial com parâmetro \lambda,
\Pr(X>t)=e^{-\lambda t}.
Aqui \lambda=\tfrac{1}{100}, então
\Pr(X>150) = e^{-\frac{1}{100}\cdot150} = e^{-1{,}5}.

Passo 3

Definimos o custo C\) por fusível como \[C = \begin{cases} 10{,}0 + 8{,}0 = 18{,}0, & X<200,\\\\ 10{,}0, & X\ge200. \end{cases}
Logo
\mathbb{E}[C] = 18{,}0\;\Pr(X<200) + 10{,}0\;\Pr(X\ge200).
Mas \Pr(X<200)=1 - e^{-\lambda\cdot200}=1 - e^{-2}\] e \(\Pr(X\ge200)=e^{-2}. Portanto,
\mathbb{E}[C] = 18\bigl(1 - e^{-2}\bigr) + 10\,e^{-2} = 18 - 18e^{-2} + 10e^{-2} = 18 - 8e^{-2}.
Podemos também escrever
\mathbb{E}[C] = 10 + 8\bigl(1 - e^{-2}\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \Pr(X>150)=e^{-1{,}5}.
(b) \displaystyle \mathbb{E}[C]=18 - 8e^{-2} ou  \displaystyle 10 + 8\bigl(1 - e^{-2}\bigr).

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