Use o exercício anterior para calcular a derivada de cada uma das funções abaixo:
y=x^{x^{2}+1}, para todo x>0.

Passo 1

O enunciado dá a função y = x^{x^{2}+1} definida para todo x>0 e pede para calcular a derivada y'.
Informações relevantes fornecidas:
\,\, 1) A função é y = x^{x^{2}+1}.
\,\, 2) O domínio é x>0 (isso garante que \ln x esteja definido).
Pergunta a responder: encontrar y' em termos de x.

Passo 2

Plano de ataque (explicado de forma didática): vou usar diferenciação logarítmica. Vou explicar por que. Quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente (como em x^{x^{2}+1}), é muito prático aplicar \ln aos dois lados para transformar uma potência em produto, porque \ln converte uma expressão do tipo a^b em b\ln a. Isso simplifica a diferenciação. Também preciso usar a regra da cadeia e a regra do produto quando diferenciar a expressão resultante. Vou explicar cada uma dessas regras quando as usar.

Passo 3

Aplicando \ln aos dois lados (válido pois y>0 já que x>0 e uma potência positiva dá positivo):
\ln y = \ln\bigl(x^{x^{2}+1}\bigr).
Usando a identidade \ln(a^b)=b\ln a (explicação: o log transforma potência em multiplicação), obtemos
\ln y = (x^{2}+1)\,\ln x.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Primeiro, a esquerda: a derivada de \ln y em relação a x é \dfrac{y'}{y}. Explicação rápida: por regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y'}{y}.
Na direita temos um produto (x^{2}+1)\cdot \ln x, então usamos a regra do produto: se u(x)v(x), então (uv)'=u'v+uv'. Aqui u(x)=x^{2}+1 e v(x)=\ln x. Calculamos:
u'(x)=2x, \qquad v'(x)=\frac{1}{x}.
Portanto a derivada do lado direito é
\frac{d}{dx}\bigl((x^{2}+1)\ln x\bigr) = 2x\cdot \ln x + (x^{2}+1)\cdot \frac{1}{x}.

Passo 5

Igualando as derivadas (esquerda = direita):
\frac{y'}{y} = 2x\ln x + \frac{x^{2}+1}{x}.
Explicação: agora isolamos y'. Multiplicamos ambos os lados por y:
y' = y\left(2x\ln x + \frac{x^{2}+1}{x}\right).
Podemos também simplificar a fração \dfrac{x^{2}+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}, então
y' = y\left(2x\ln x + x + \frac{1}{x}\right).

Passo 6

Finalmente, substituímos y pela expressão original y=x^{x^{2}+1}. Ficamos com a forma final da derivada:
y' = x^{x^{2}+1}\left(2x\ln x + x + \frac{1}{x}\right).
Pequena observação prática: essa é a forma que você deve reconhecer rápido na prova. Se preferir, pode também escrever
y' = x^{x^{2}+1}\left(2x\ln x + \frac{x^{2}+1}{x}\right),
que é equivalente.

Resposta

y' = x^{x^{2}+1}\left(2x\ln x + x + \frac{1}{x}\right)

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