Use o exercício anterior para calcular a derivada de cada uma das funções abaixo:
, para todo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para todo
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
1) A função é
.
2) O domínio é
(isso garante que
esteja definido).
Pergunta a responder: encontrar em termos de
.
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta a responder: encontrar
Passo 2
Plano de ataque (explicado de forma didática): vou usar diferenciação logarítmica. Vou explicar por que. Quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente (como em
), é muito prático aplicar
aos dois lados para transformar uma potência em produto, porque
converte uma expressão do tipo
em
. Isso simplifica a diferenciação. Também preciso usar a regra da cadeia e a regra do produto quando diferenciar a expressão resultante. Vou explicar cada uma dessas regras quando as usar.
Passo 3
Aplicando
aos dois lados (válido pois
já que
e uma potência positiva dá positivo):
Usando a identidade
(explicação: o log transforma potência em multiplicação), obtemos
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Primeiro, a esquerda: a derivada de
em relação a
é
. Explicação rápida: por regra da cadeia,
.
Na direita temos um produto , então usamos a regra do produto: se
, então
. Aqui
e
. Calculamos:
Na direita temos um produto
Portanto a derivada do lado direito é
Passo 5
Igualando as derivadas (esquerda = direita):
Explicação: agora isolamos
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos também simplificar a fração
, então
Passo 6
Finalmente, substituímos
pela expressão original
. Ficamos com a forma final da derivada:
Pequena observação prática: essa é a forma que você deve reconhecer rápido na prova. Se preferir, pode também escrever
que é equivalente.