12- Dois moles de gás oxigênio são aquecidos de uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C} e uma pressão de 1 atm até uma temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que o oxigênio seja um gás ideal.
(a) Quanto calor deve ser fornecido se o volume for mantido constante durante o aquecimento?
(b) Quanto calor deve ser fornecido se a pressão for mantida constante?
(c) Quanto trabalho o gás realiza na parte (b)?

Passo 1

O enunciado dá: temos n=2 moles de gás oxigênio (assumir gás ideal), temperatura inicial 20^\circ\mathrm{C} e pressão inicial 1\\ \mathrm{atm}. O gás é aquecido até 100^\circ\mathrm{C}. As perguntas são:
(a) Quanto de calor Q precisa ser fornecido se o volume for mantido constante durante o aquecimento?
(b) Quanto de calor Q precisa ser fornecido se a pressão for mantida constante durante o aquecimento?
(c) Quanto trabalho W o gás realiza na situação da parte (b)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
n = 2,\qquad T_1 = 20^\circ\mathrm{C},\qquad T_2 = 100^\circ\mathrm{C},\qquad P_{\text{inicial}}=1\\ \mathrm{atm}
Observação: as temperaturas devem ser usadas em Kelvin para cálculos termodinâmicos. Não resolvo nada neste passo, apenas organizei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Converter temperaturas para Kelvin e definir constantes que usaremos:
T_1 = 20^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 20 = 293{,}15\\ \mathrm{K}
T_2 = 100^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 100 = 373{,}15\\ \mathrm{K}
\Delta T = T_2 - T_1 = 373{,}15 - 293{,}15 = 80{,}0\\ \mathrm{K}
Constante dos gases:
R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}
Explicação didática sobre capacidades caloríficas para oxigênio (gás diatômico): em temperaturas moderadas (como 20^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}) um gás diatômico como o \mathrm{O}_2 tem, por aproximação, 5 graus de liberdade (3 translação + 2 rotação). Pela teoria dos gases ideais:
C_V = \frac{5}{2}R
C_P = C_V + R = \frac{7}{2}R
Aqui C_V e C_P são capacidades caloríficas molares (por mol) a volume e pressão constantes, respectivamente, com unidades \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}. Vou usar essas fórmulas porque são a forma padrão para diatômicos em regime onde modos vibracionais não estão excitados significativamente.

Passo 3

Resolução da parte (a): aquecimento a volume constante.
Conceito-chave: para um gás ideal a energia interna U depende apenas da temperatura. A variação de energia interna é
\Delta U = n C_V \Delta T.
Pela primeira lei da termodinâmica,
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor fornecido ao sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema. Em um processo a volume constante temos W=0 (pois W = \displaystyle\int P\,dV e dV=0), então
Q_{V} = \Delta U = n C_V \Delta T.
Calcular numericamente:
C_V = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2}\cdot 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Q_{V} = n C_V \Delta T = 2\cdot 20{,}785\cdot 80{,}0 = 3325{,}6\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida: como o volume não muda, todo calor fornecido aumenta apenas a energia interna (aumenta a temperatura), sem realização de trabalho.

Passo 4

Resolução da parte (b): aquecimento a pressão constante.
Conceito-chave: em processo a pressão constante, o calor fornecido está relacionado à variação de entalpia H. Para gás ideal:
Q_{P} = \Delta H = n C_P \Delta T,
onde C_P é a capacidade calorífica molar a pressão constante. Também vale C_P = C_V + R.
Calcular numericamente:
C_P = \frac{7}{2}R = \frac{7}{2}\cdot 8{,}314 = 29{,}099\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Q_{P} = n C_P \Delta T = 2\cdot 29{,}099\cdot 80{,}0 = 4655{,}84\\ \mathrm{J}.
Pequena intuição: em pressão constante parte do calor aumenta a energia interna e outra parte é gasta fazendo o gás expandir (realizando trabalho).

Passo 5

Resolução da parte (c): trabalho realizado na parte (b) (processo a pressão constante).
Fórmula direta (mais fácil): para gás ideal em processo a pressão constante,
W = P\Delta V = nR\Delta T.
Essa última igualdade vem da equação de estado PV = nRT: \Delta V = \dfrac{nR\Delta T}{P}, então P\Delta V = nR\Delta T. Alternativamente, pela primeira lei, W = Q_P - \Delta U, e isso dará o mesmo resultado.
Calcular numericamente:
W = n R \Delta T = 2\cdot 8{,}314\cdot 80{,}0 = 1330{,}24\\ \mathrm{J}.
Verificação rápida (consistência): Q_P - \Delta U = 4655{,}84 - 3325{,}6 = 1330{,}24\\ \mathrm{J}, confere com nR\Delta T.
Signo: aqui W>0 indica que o gás realiza trabalho sobre o ambiente ao expandir.

Resposta

Q_{V}=3325{,}6\\ \mathrm{J}
Q_{P}=4655{,}8\\ \mathrm{J}
W=1330{,}2\\ \mathrm{J}

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