13- Um mol de gás ideal (
) expande-se adiabaticamente e quase estaticamente de uma pressão de 10 atm e uma temperatura de
para uma pressão de 2 atm . Determine
(a) os volumes inicial e final,
(b) a temperatura final e
(c) o trabalho realizado pelo gás.
(a) os volumes inicial e final,
(b) a temperatura final e
(c) o trabalho realizado pelo gás.
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e pede. Dados fornecidos (vou escrever tudo em notação matemática):
Perguntas que precisamos responder:
(a) calcular os volumes inicial e final
;
(b) determinar a temperatura final ;
(c) calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.
(a) calcular os volumes inicial
(b) determinar a temperatura final
(c) calcular o trabalho
Passo 2
Cálculo do volume inicial
com a lei dos gases ideais e explicação do conceito usado. A lei dos gases ideais diz que
onde
é a pressão,
o volume,
o número de mols,
a constante universal dos gases e
a temperatura absoluta (Kelvin). Aqui
pode ser usado como
se quisermos volumes em litros e pressões em atm. Aplicando para o estado inicial:
Substituindo os valores:
Comentário pedagógico: a razão rápida é que um mol ocupa
a
e
; aqui a pressão é
, então o volume é
.
Passo 3
Determinação do volume final
usando a relação adiabática (explicação e derivação). Para um processo adiabático reversível temos a relação
Isto significa que
. Isolando
:
Substituindo os valores (
e
):
Agora calculamos
. Uma avaliação numérica dá
. Portanto
Interpretação rápida: ao cair a pressão de
para
o volume aumenta ~2,63 vezes, devido à lei adiabática.
Passo 4
Cálculo da temperatura final
e explicação da relação usada. A partir de
e da relação adiabática podemos obter uma relação entre temperaturas e volumes:
ou equivalentemente, usando pressões,
Aqui
. Substituindo:
Calculando numericamente
, logo
Convertendo para graus Celsius:
Comentário pedagógico: a expansão adiabática faz o gás esfriar — aqui bastante, porque a pressão caiu muito.
Passo 5
Cálculo do trabalho
realizado pelo gás e explicação detalhada da origem da fórmula. Pela primeira lei da termodinâmica, para uma transformação adiabática
, e temos
Para um gás ideal a variação de energia interna depende só da temperatura:
Logo, o trabalho realizado pelo gás é
Lembrando que para um gás ideal
. Substituindo:
Agora colocamos números. Usarei
,
e
:
A diferença de temperatura é
Portanto
Verificação alternativa (mesma resposta): podemos usar
Calculando em unidades
:
,
. Diferença
. Dividindo por
e convertendo
dá exatamente
(pequenas diferenças por arredondamento).
Passo 6
Resumo numérico final e observações de interpretação (motivacional curto). Os resultados são consistentes: expansão adiabática quase-estática (reversível) faz o gás aumentar muito de volume, cair bastante de temperatura e realizar trabalho na ordem de
. Dá para revisar esses passos na sua prova: aplicar sempre primeiro a lei dos gases ideais para estados e a relação adiabática
const; para trabalho lembrar
com
. Você consegue — calma e faça passo a passo.
Resposta
(a)
(b)
(c) (trabalho realizado pelo gás).
(b)
(c)