13- Um mol de gás ideal ( \gamma=5 / 3 ) expande-se adiabaticamente e quase estaticamente de uma pressão de 10 atm e uma temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} para uma pressão de 2 atm . Determine
(a) os volumes inicial e final,
(b) a temperatura final e
(c) o trabalho realizado pelo gás.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede. Dados fornecidos (vou escrever tudo em notação matemática):
n=1,\quad \gamma=\tfrac{5}{3},\quad p_1=10\\ \text{atm},\quad T_1=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K},\quad p_2=2\\ \text{atm}.
Perguntas que precisamos responder:
(a) calcular os volumes inicial V_1 e final V_2;
(b) determinar a temperatura final T_2;
(c) calcular o trabalho W realizado pelo gás durante a expansão.

Passo 2

Cálculo do volume inicial V_1 com a lei dos gases ideais e explicação do conceito usado. A lei dos gases ideais diz que
pV=nRT,
onde p é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta (Kelvin). Aqui R pode ser usado como R=0{,}082057\\ \text{L·atm·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} se quisermos volumes em litros e pressões em atm. Aplicando para o estado inicial:
V_1=\frac{nR T_1}{p_1}.
Substituindo os valores:
V_1=\frac{1\cdot 0{,}082057\cdot 273{,}15}{10}= \frac{22{,}414}{10}=2{,}2414\\ \text{L}.
Comentário pedagógico: a razão rápida é que um mol ocupa \approx 22{,}414\\ \text{L} a 1\\ \text{atm} e 273{,}15\\ \mathrm{K}; aqui a pressão é 10\\ \text{atm}, então o volume é 22{,}414/10.

Passo 3

Determinação do volume final V_2 usando a relação adiabática (explicação e derivação). Para um processo adiabático reversível temos a relação
pV^\gamma=\text{constante}.
Isto significa que p_1V_1^\gamma=p_2V_2^\gamma. Isolando V_2:
V_2=V_1\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{1/\gamma}.
Substituindo os valores ( p_1/p_2=10/2=5 e \gamma=5/3):
V_2=2{,}2414\cdot 5^{\,1/(\,5/3\,)}=2{,}2414\cdot 5^{\,3/5}.
Agora calculamos 5^{3/5}=5^{0{,}6}. Uma avaliação numérica dá 5^{0{,}6}\approx 2{,}62653. Portanto
V_2\approx 2{,}2414\cdot 2{,}62653\approx 5{,}8859\\ \text{L}.
Interpretação rápida: ao cair a pressão de 10 para 2\\ \text{atm} o volume aumenta ~2,63 vezes, devido à lei adiabática.

Passo 4

Cálculo da temperatura final T_2 e explicação da relação usada. A partir de pV=nRT e da relação adiabática podemos obter uma relação entre temperaturas e volumes:
TV^{\gamma-1}=\text{constante},
ou equivalentemente, usando pressões,
T_2=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.
Aqui (\gamma-1)/\gamma=(5/3-1)/(5/3)=\tfrac{2/3}{5/3}=\tfrac{2}{5}=0{,}4. Substituindo:
T_2=273{,}15\cdot\left(\frac{2}{10}\right)^{0{,}4}=273{,}15\cdot(0{,}2)^{0{,}4}.
Calculando numericamente (0{,}2)^{0{,}4}\approx 0{,}525575, logo
T_2\approx 273{,}15\cdot 0{,}525575\approx 143{,}585\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_2\approx 143{,}585-273{,}15\approx -129{,}565^\circ\mathrm{C}.
Comentário pedagógico: a expansão adiabática faz o gás esfriar — aqui bastante, porque a pressão caiu muito.

Passo 5

Cálculo do trabalho W realizado pelo gás e explicação detalhada da origem da fórmula. Pela primeira lei da termodinâmica, para uma transformação adiabática Q=0, e temos
\Delta U = Q - W = -W.
Para um gás ideal a variação de energia interna depende só da temperatura:
\Delta U = n C_V (T_2-T_1).
Logo, o trabalho realizado pelo gás é
W = -\Delta U = n C_V (T_1-T_2).
Lembrando que para um gás ideal C_V=\dfrac{R}{\gamma-1}. Substituindo:
W = n\frac{R}{\gamma-1}(T_1-T_2).
Agora colocamos números. Usarei R=8{,}314462\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, \gamma-1=\tfrac{2}{3} e n=1:
\frac{R}{\gamma-1}=8{,}314462\cdot\frac{3}{2}=12{,}471693\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
A diferença de temperatura é
T_1-T_2=273{,}15-143{,}585=129{,}565\\ \mathrm{K}.
Portanto
W\approx 1\cdot 12{,}471693\cdot 129{,}565\approx 1616{,}0\\ \mathrm{J}.
Verificação alternativa (mesma resposta): podemos usar
W=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}.
Calculando em unidades \text{L·atm}: p_1V_1=10\cdot 2{,}2414=22{,}414\\ \text{L·atm}, p_2V_2=2\cdot 5{,}8859=11{,}7718\\ \text{L·atm}. Diferença =10{,}6422\\ \text{L·atm}. Dividindo por \gamma-1=2/3 e convertendo 1\\ \text{L·atm}=101{,}325\\ \mathrm{J} dá exatamente 1616{,}0\\ \mathrm{J} (pequenas diferenças por arredondamento).

Passo 6

Resumo numérico final e observações de interpretação (motivacional curto). Os resultados são consistentes: expansão adiabática quase-estática (reversível) faz o gás aumentar muito de volume, cair bastante de temperatura e realizar trabalho na ordem de 1{,}6\\ \text{kJ}. Dá para revisar esses passos na sua prova: aplicar sempre primeiro a lei dos gases ideais para estados e a relação adiabática pV^\gamma= const; para trabalho lembrar W=nC_V(T_1-T_2) com C_V=R/(\gamma-1). Você consegue — calma e faça passo a passo.

Resposta

(a) V_1=2{,}2414\\ \text{L},\quad V_2=5{,}8859\\ \text{L}.
(b) T_2=143{,}585\\ \mathrm{K}\approx -129{,}565^\circ\mathrm{C}.
(c) W\approx 1616{,}0\\ \mathrm{J} (trabalho realizado pelo gás).

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