12 Encontre o o divergente e o rotacional do vetor .

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar duas coisas de um campo vetorial tridimensional: o divergente e o rotacional de
vec A(x,y,z) = (x^2 + y z),hatimath ;+;(y^2 + z x),hatjmath;+;(z^2 + x y),hat k
Isso faz parte de Cálculo Vetorial, onde usamos o operador ∇ (nabla) pra definir:
  • Divergente: = soma das derivadas parciais de cada componente em relação à sua coordenada.
  • Rotacional: = um vetor cujas componentes são diferenças de derivadas parciais cruzadas.
    Pra resolver, só precisamos saber derivadas parciais básicas e essas fórmulas.

Passo 2

Vamos calcular o divergente, que é
nablacdotvec A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
Aqui , , .

Passo 3

Derivadas parciais:
partial Axpartial x = partial (x^2+yz)partial x = 2x, partial Aypartial y = 2y, partial Azpartial z = 2z
Logo
nablacdotvec A = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z)

Passo 4

Agora o rotacional, definido por
nablatimesvec A = hatimath & hatjmath & hat k partialx & partialy & partialz Ax & Ay & Az
Isso gera três componentes:
(nablatimesvec A)x = partialy Az - partialz Ay, (nablatimesvec A)y = partialz Ax - partialx Az, (nablatimesvec A)z = partialx Ay - partialy Ax

Passo 5

Calculemos cada uma:

Resposta

Divergente: .
Rotacional: .

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