5 Demonstre que os seguintes vetores são perpendiculares:
& A=i+4 j+3 k & B=4 i+2 j-4 k

Passo 1

Então, a questão pede pra provar que os vetores
vec A = hat i + 4hat j + 3hat k e vec B = 4hat i + 2hat j -4hat k
são perpendiculares. Isso é geometria analítica/álgebra vetorial e, pra resolver, vamos precisar do conceito de produto escalar de vetores.

Passo 2

Produto escalar é uma operação que pega dois vetores e dá um número. Dado
vec A = (Ax, Ay, Az) e vec B = (Bx, By, Bz),
o produto escalar é
vec A cdot vec B = AxBx + AyBy + AzBz
Uma propriedade chave: dois vetores são perpendiculares (formam 90°) se, e somente se,
vec A cdot vec B = 0

Passo 3

Agora é só calcular componente a componente:
vec A cdot vec B = (1),(4) ;+;(4),(2);+;(3),(-4) = 4 + 8 - 12 = 0

Resposta

Como o produto escalar ficou zero ( vec A cdot vec B = 0), concluímos que os vetores vec A e vec B são sim perpendiculares.

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