Demonstre as seguintes regras do produto:
nabla cdot(A times B)=B cdot(nabla times A)- (\vec{A} \cdot(\nabla \times \vec{B}) 😭\

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a divergência do produto vetorial de dois vetores, A times B, é igual a B cdot (nabla times A) menos A cdot (nabla times B). Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergência e rotacional (ou “curl”). Vamos precisar saber como calcular a divergência e o rotacional de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial V = (Vx, Vy, Vz) é dada por:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Isso mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto.

Passo 3

Agora, o rotacional de um campo vetorial A = (Ax, Ay, Az) é:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z, partial Axpartial z - partial Azpartial x, partial Aypartial x - partial Axpartial y )
O rotacional mede a tendência do campo de girar em torno de um ponto.

Passo 4

Vamos calcular nabla cdot (A times B). Primeiro, lembramos que o produto vetorial A times B resulta em um novo vetor cujas componentes são:
A times B = ( Ay Bz - Az By, Az Bx - Ax Bz, Ax By - Ay Bx )

Passo 5

Agora, aplicamos a divergência nesse vetor:
nabla cdot (A times B) = partialpartial x(Ay Bz - Az By) + partialpartial y(Az Bx - Ax Bz) + partialpartial z(Ax By - Ay Bx)

Passo 6

Vamos expandir cada derivada:
= partial Aypartial x Bz + Ay partial Bzpartial x - partial Azpartial x By - Az partial Bypartial x + partial Azpartial y Bx + Az partial Bxpartial y - partial Axpartial y Bz - Ax partial Bzpartial y + partial Axpartial z By + Ax partial Bypartial z - partial Aypartial z Bx - Ay partial Bxpartial z

Passo 7

Organizamos os termos para agrupar as derivadas de A e B:
= ( partial Aypartial x Bz - partial Azpartial x By ) + ( partial Azpartial y Bx - partial Axpartial y Bz ) + ( partial Axpartial z By - partial Aypartial z Bx ) + ( Ay partial Bzpartial x - Az partial Bypartial x + Az partial Bxpartial y - Ax partial Bzpartial y + Ax partial Bypartial z - Ay partial Bxpartial z )

Passo 8

Observamos que os primeiros três termos se parecem com B cdot (nabla times A) e os últimos três com -A cdot (nabla times B). Calculando cada um:
B cdot (nabla times A) = Bx ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) + By ( partial Axpartial z - partial Azpartial x ) + Bz ( partial Aypartial x - partial Axpartial y )
A cdot (nabla times B) = Ax ( partial Bzpartial y - partial Bypartial z ) + Ay ( partial Bxpartial z - partial Bzpartial x ) + Az ( partial Bypartial x - partial Bxpartial y )

Passo 9

Portanto, juntando tudo, temos:
nabla cdot (A times B) = B cdot (nabla times A) - A cdot (nabla times B)

Resposta

nabla cdot (A times B) = B cdot (nabla times A) - A cdot (nabla times B)

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