Demonstre as seguintes regras do produto:
(\vec{A} \cdot(\nabla \times \vec{B}) 😭\
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a divergência do produto vetorial de dois vetores,
, é igual a
menos
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergência e rotacional (ou “curl”). Vamos precisar saber como calcular a divergência e o rotacional de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Isso mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto.
Passo 3
Agora, o rotacional de um campo vetorial
é:
O rotacional mede a tendência do campo de girar em torno de um ponto.
Passo 4
Vamos calcular
. Primeiro, lembramos que o produto vetorial
resulta em um novo vetor cujas componentes são:
Passo 5
Agora, aplicamos a divergência nesse vetor:
Passo 6
Vamos expandir cada derivada:
Passo 7
Organizamos os termos para agrupar as derivadas de
e
:
Passo 8
Observamos que os primeiros três termos se parecem com
e os últimos três com
. Calculando cada um:
Passo 9
Portanto, juntando tudo, temos: