A carga é distribuída ao longo de todo o eixo x com densidade uniforme lambdax e ao longo de todo o eixo y com densidade uniforme lambday. Calcule o campo elétrico resultante em:
(a) R=a x+b y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos cargas distribuídas de forma contínua ao longo de todo o eixo $ x $ com densidade linear $ \lambda_{x} $ e ao longo de todo o eixo $ y $ com densidade linear $ \lambda_{y} $. Queremos calcular o campo elétrico resultante no ponto $ \vec{R} = a \hat{x} + b \hat{y} $.
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de eletrostática, especificamente sobre como calcular o campo elétrico gerado por distribuições de carga contínuas. Precisamos usar a Lei de Coulomb e integrar para encontrar a contribuição total das cargas ao longo dos eixos.

Passo 2

Vamos começar calculando o campo elétrico gerado pela distribuição de carga ao longo do eixo $ x $ no ponto $ \vec{R} $.
Imagine um pequeno elemento de carga $ dq_x $ localizado em uma posição $ x’ $ no eixo $ x $. A carga desse elemento é dada por:
x
onde $ dx’ $ é um pequeno segmento do eixo $ x $.

Passo 3

O próximo passo é determinar a distância entre o elemento de carga $ dq_x $ e o ponto $ \vec{R} $. Essa distância é:
dqx
Agora, pelo a Lei de Coulomb, o campo elétrico diferencial gerado por $ dq_x $ no ponto $ \vec{R} $ é:
R
onde $ \hat{r}_x $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{R} - \vec{r}’ $.

Passo 4

Vamos decompor $ d\vec{E}_x $ nas componentes $ x $ e $ y $. Devido à simetria, as componentes na direção $ y $ vão se cancelar quando integrarmos ao longo de todo o eixo $ x $, restando apenas a componente $ x $.
Portanto, a componente $ x $ do campo elétrico gerado pela carga no eixo $ x $ é:
dEx

Passo 5

Agora, integramos $ dE_{x,x} $ ao longo de todo o eixo $ x $ para encontrar o campo elétrico total na direção $ x $ devido às cargas no eixo $ x $:
dEx,x
Simplificando a expressão:
x

Passo 6

Fazendo a substituição $ u = a - x’ $, a integral se torna:
u = a - x'
Note que a função é ímpar em relação a $ u $, e a integral de uma função ímpar sobre todo o eixo permanece zero. Portanto:
Ex = lambdax4pivarepsilon0 integral-infty^+infty u(u^2 + b^2)^3/2 , (-du)

Passo 7

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado pela distribuição de carga ao longo do eixo $ y $ no ponto $ \vec{R} $.
Similarmente, consideramos um elemento de carga $ dq_y = \lambda_{y} , dy’ $ localizado em uma posição $ y’ $ no eixo $ y $. A distância entre $ dq_y $ e $ \vec{R} $ é:
y
O campo elétrico diferencial gerado por $ dq_y $ é:
R
Decompondo nas componentes $ x $ e $ y $:
dqy = lambday , dy'

Passo 8

Integrando $ dE_{y,x} $ ao longo de todo o eixo $ y $, temos:
dEy,x
Essa integral é uma forma conhecida que resulta em:
y
Já para a componente $ y $:
Ey,x = lambday4pivarepsilon0 integral-infty^+infty a(a^2 + (b - y')^2)^3/2 , dy'
Novamente, por simetria e por ser uma função ímpar em relação a $ y’ $, essa integral resulta em zero:
Ey,x = lambday2pivarepsilon0 b cdot ab = lambday a2pivarepsilon0 b^2

Passo 9

Finalmente, somamos as componentes dos campos elétricos gerados pelas duas distribuições:
Etotal = Ex + Ey = 0 x + lambday a2pivarepsilon0 b^2 x = lambday a2pivarepsilon0 b^2 x

Resposta

O campo elétrico resultante no ponto $ \vec{R} = a \hat{x} + b \hat{y} $ é:
R = a x + b y

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