3-12 Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=11-x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma representação em série de potências para f(x)=11-x^2 e determinar o intervalo de convergência. O conteúdo aqui é série geométrica e vamos precisar usar a fórmula de soma 1/(1-r)=sumn=0^inftyr^n válida para |r|<1.

Passo 2

Sabendo que para |r|<1 vale a série geométrica
11-r=sumn=0^inftyr^n,
basta identificar r=x^2 pois nossa função é 1/(1-x^2).

Passo 3

Substituindo r=x^2 obtemos
11-x^2=sumn=0^infty(x^2)^n=sumn=0^inftyx^2n

Passo 4

Para que essa série convirja precisamos de
|x^2|<1Longrightarrow|x|<1
Nos extremos x=1 ou x=-1 a série não converge, então o intervalo de convergência é (-1,1).

Resposta

f(x)=sumn=0^inftyx^2n, com intervalo de convergência -1.

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