Sejam f(x, y, z)=x^3 y^4 z^5+x sen(y z) e g(x, y)=e^x ln y. Encontre todas as derivadas parciais de f e g de ordem 3.

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as derivadas parciais de ordem 3 das funções f(x,y,z)=x^3y^4z^5 + xsin(yz) e g(x,y)=e^xln y. O conteúdo é diferenciação de funções de várias variáveis, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Vamos primeiro diferenciar f em cada variável para obter as derivadas de primeira ordem. Para isso usamos: derivada de potência ( x^n), produto e cadeia em sin(yz).
fx=3x^2y^4z^5 + sin(yz), fy=4x^3y^3z^5 + xzcos(yz), fz=5x^3y^4z^4 + xycos(yz)

Passo 3

Com as primeiras derivadas, calculamos as segundas derivadas de f. Aplico derivada de cada termo e, nos que envolvem cos(yz) ou sin(yz), volto a usar regra da cadeia:
fxx=6xy^4z^5, fxy=12x^2y^3z^5 + zcos(yz), fxz=15x^2y^4z^4 + ycos(yz),
fyy=12x^3y^2z^5 - xz^2sin(yz), fyz=20x^3y^3z^4 + xcos(yz) - xyzsin(yz), fzz=20x^3y^4z^3 - xy^2sin(yz)

Passo 4

Agora vem o passo central: derivadas de terceira ordem de f. Derivo cada segunda parcial em cada variável, sempre lembrando da cadeia nos termos trigonométricos.
fxxx&=6y^4z^5, & fxxy&=24xy^3z^5, & fxxz&=30xy^4z^4, fxyy&=36x^2y^2z^5 - z^2sin(yz), & fxyz&=60x^2y^3z^4 + cos(yz) - yzsin(yz), & fxzz&=60x^2y^4z^3 - y^2sin(yz), fyyy&=24x^3yz^5 - xz^3cos(yz), & fyyz&=60x^3y^2z^4 - 2xzsin(yz) - xyz^2cos(yz), & fyzz&=80x^3y^3z^3 - 2xysin(yz) - xy^2zcos(yz), fzzz&=60x^3y^4z^2 - xy^3cos(yz)

Passo 5

Agora repetimos o processo para g(x,y)=e^xln y. Primeiro as derivadas de primeira ordem, usando produto simples:
gx=e^xln y, gy=e^xy

Passo 6

Em seguida, as segundas derivadas de g:
gxx=e^xln y, gxy=e^xy, gyy=-e^xy^2

Passo 7

Por fim, as derivadas de terceira ordem de g, derivando de novo as segundas:
gxxx=e^xln y, gxxy=e^xy, gxyy=-e^xy^2, gyyy=2e^xy^3

Resposta

Para f:
fxxx&=6y^4z^5, & fxxy&=24xy^3z^5, & fxxz&=30xy^4z^4, fxyy&=36x^2y^2z^5 - z^2sin(yz), & fxyz&=60x^2y^3z^4 + cos(yz) - yzsin(yz), & fxzz&=60x^2y^4z^3 - y^2sin(yz), fyyy&=24x^3yz^5 - xz^3cos(yz), & fyyz&=60x^3y^2z^4 - 2xzsin(yz) - xyz^2cos(yz), & fyzz&=80x^3y^3z^3 - 2xysin(yz) - xy^2zcos(yz), fzzz&=60x^3y^4z^2 - xy^3cos(yz)
Para g:
gxxx=e^xln y, gxxy=e^xy, gxyy=-e^xy^2, gyyy=2e^xy^3

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