Sejam
e
. Encontre todas as derivadas parciais de
e
de ordem 3.
Passo 1
O enunciado pede para achar todas as derivadas parciais de ordem 3 das funções
e
. O conteúdo é diferenciação de funções de várias variáveis, usando regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Vamos primeiro diferenciar
em cada variável para obter as derivadas de primeira ordem. Para isso usamos: derivada de potência (
), produto e cadeia em
.
Passo 3
Com as primeiras derivadas, calculamos as segundas derivadas de
. Aplico derivada de cada termo e, nos que envolvem
ou
, volto a usar regra da cadeia:
Passo 4
Agora vem o passo central: derivadas de terceira ordem de
. Derivo cada segunda parcial em cada variável, sempre lembrando da cadeia nos termos trigonométricos.
Passo 5
Agora repetimos o processo para
. Primeiro as derivadas de primeira ordem, usando produto simples:
Passo 6
Em seguida, as segundas derivadas de
:
Passo 7
Por fim, as derivadas de terceira ordem de
, derivando de novo as segundas:
Resposta
Para f:
Para g: