Se u=1raizx^2+y^2+z^2, mostre que partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=0.

Passo 1

No enunciado, queremos mostrar que a função u = 1raizx^2 + y^2 + z^2 satisfaz partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial z^2 = 0. O conteúdo envolvido é o operador laplaciano em R^3 e vamos precisar das regras da cadeia e do produto para derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Começamos calculando a derivada parcial de primeira ordem em relação a x. Definindo r^2 = x^2 + y^2 + z^2, temos u = (r^2)^-1/2. Aplicando a regra da cadeia:
partial upartial x = -tfrac12 (r^2)^-3/2 cdot 2x = -x ,(r^2)^-3/2

Passo 3

De forma análoga, pelas simetrias, partial upartial y = -y,(r^2)^-3/2 e partial upartial z = -z,(r^2)^-3/2.

Passo 4

Agora calculamos a derivada de segunda ordem em x. Usamos a regra do produto em partialpartial x[-x,(r^2)^-3/2]. Primeiro derivamos -x e depois (r^2)^-3/2:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = - (r2){-3/2} + (-x)\cdot\bigl(-\tfrac32,(r2){-5/2}\cdot 2x\bigr)
= - (r2){-3/2} + 3x2,(r2)^{-5/2}.$$

Passo 5

De modo semelhante, obtém-se
partial^2 upartial y^2 = - (r^2)^-3/2 + 3y^2,(r^2)^-5/2,

Passo 6

partial^2 upartial z^2 = - (r^2)^-3/2 + 3z^2,(r^2)^-5/2

Passo 7

Somando as três segundas derivadas aparece
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
= -3(r2){-3/2} + 3(x2+y2+z2),(r2)^{-5/2}.$$

Passo 8

Como x^2+y^2+z^2 = r^2, o segundo termo fica 3r^2,(r^2)^-5/2 = 3(r^2)^-3/2, cancelando o primeiro. Portanto o somatório é zero.

Resposta

0

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