Se
, mostre que
.
Passo 1
No enunciado, queremos mostrar que a função
satisfaz
. O conteúdo envolvido é o operador laplaciano em
e vamos precisar das regras da cadeia e do produto para derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Começamos calculando a derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Definindo
, temos
. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
De forma análoga, pelas simetrias,
e
.
Passo 4
Agora calculamos a derivada de segunda ordem em
. Usamos a regra do produto em
. Primeiro derivamos
e depois
:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = - (r2){-3/2} + (-x)\cdot\bigl(-\tfrac32,(r2){-5/2}\cdot 2x\bigr)
= - (r2){-3/2} + 3x2,(r2)^{-5/2}.$$
Passo 5
De modo semelhante, obtém-se
Passo 6
Passo 7
Somando as três segundas derivadas aparece
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
= -3(r2){-3/2} + 3(x2+y2+z2),(r2)^{-5/2}.$$
Passo 8
Como
, o segundo termo fica
, cancelando o primeiro. Portanto o somatório é zero.
Resposta
0