3-12 Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Resumimos o problema: queremos a série de potências de
em torno de zero, usando expansão em série geométrica, e determinar o intervalo de convergência.
Passo 2
Separamos a função em duas frações mais simples:
Isso facilita expandir cada termo individualmente.
Passo 3
Lembrando a série geométrica
substituímos
Passo 4
Multiplicamos essa expansão por
e por
separadamente:
Passo 5
Somando as duas séries, obtemos a representação desejada:
Passo 6
Para garantir a convergência usamos a condição
, ou seja o intervalo de convergência é
.
Resposta
Intervalo de convergência:
.