3-12 Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=x+ax^2+a^2, a>0

Passo 1

Resumimos o problema: queremos a série de potências de f(x)=x+ax^2+a^2 em torno de zero, usando expansão em série geométrica, e determinar o intervalo de convergência.

Passo 2

Separamos a função em duas frações mais simples:
f(x)=xx^2+a^2+ax^2+a^2
Isso facilita expandir cada termo individualmente.

Passo 3

Lembrando a série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n(|u|<1),
substituímos u=(x/a)^2 para obter
1x^2+a^2=1a^2cdot11+(x/a)^2=sumn=0^infty(-1)^nx^2na^2n+2

Passo 4

Multiplicamos essa expansão por x e por a separadamente:
xx^2+a^2=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1a^2n+2,
ax^2+a^2=sumn=0^infty(-1)^nx^2na^2n+1

Passo 5

Somando as duas séries, obtemos a representação desejada:
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nl(x^2na^2n+1+x^2n+1a^2n+2r)

Passo 6

Para garantir a convergência usamos a condição |x/a|<1, ou seja o intervalo de convergência é |x|.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^nl(x^2na^2n+1+x^2n+1a^2n+2r)
Intervalo de convergência: |x|.

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