3-12 Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=42 x+3

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar uma série de potências que represente a função f(x)=42x+3 e dizer pra quais valores de x essa série converge. O conteúdo principal é expansão em série geométrica e cálculo de intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, reorganizo f(x) de modo a parecer com a forma 11 - r. Começo fatorando o denominador: f(x)=42x+3=43l(1+tfrac2x3r)=43cdot11 - l(-tfrac2x3r)

Passo 3

Em seguida, uso a série geométrica padrão 11-r=sumn=0^inftyr^n, válida se |r|<1. Aqui r=-tfrac2x3. Logo,
f(x)=43sumn=0^inftyl(-tfrac2x3r)^n

Passo 4

Posso escrever isso como série de potências em x:
f(x)=sumn=0^infty43l(-tfrac23r)^n x^n

Passo 5

Agora só falta achar o intervalo de convergência, obtido de |r|<1:
l| -tfrac2x3r|<1Longrightarrow2|x|3<1Longrightarrow|x|

Passo 6

Portanto a série convergE para x em (-tfrac32,,tfrac32).

Resposta

A representação em série de potências é f(x)=sumn=0^infty43l(-tfrac23r)^n x^n e o intervalo de convergência é |x|, isto é, (-3/2,,3/2).

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