3-12 Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar uma série de potências que represente a função e dizer pra quais valores de essa série converge. O conteúdo principal é expansão em série geométrica e cálculo de intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, reorganizo de modo a parecer com a forma . Começo fatorando o denominador:
Passo 3
Em seguida, uso a série geométrica padrão , válida se . Aqui . Logo,
Passo 4
Posso escrever isso como série de potências em :
Passo 5
Agora só falta achar o intervalo de convergência, obtido de :
Passo 6
Portanto a série convergE para x em (-tfrac32,,tfrac32).
Resposta
A representação em série de potências é f(x)=sumn=0^infty43l(-tfrac23r)^n x^n e o intervalo de convergência é |x|, isto é, (-3/2,,3/2).